高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训 新人教A版必修4.doc

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训基础达标1.已知、为锐角，且cos（+）=，cos（2+）=，那么cos的值是（ ）a. b.- c. d.-解析：、为锐角，+（0，），2+（0，）.又cos（+）=，cos（2+）=，sin（+）=，sin（2+）=，cos=cos（2+）-（+）=cos（2+）cos（+）+sin（2+）sin（+）=+=.选a.答案：a2.当-x时，函数f（x）=sinx+cosx的（ ）a.最大值是1，最小值是-1 b.最大值是1，最小值是-c.最大值是2，最小值是- d.最大值是2，最小值是-1解析：f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）.-x，-x+.从而-12sin（x+）2.选d.答案：d3.若（4tan+1）（1-4tan）=17，tantan-1,则tan（-）的值为（ ）a. b. c.4 d.12解析：（4tan+1）（1-4tan）=17，tantan-1，4tan-4tan=16+16tantan.=4=tan（-）.选c.答案：c4.在abc中，若2cosbsina=sinc，则abc的形状一定是（ ）a.等腰直角三角形 b.直角三角形c.等腰三角形 d.等边三角形解析：sinc=sin-（a+b）=sin（a+b），2cosbsina=sin（a+b）.可得sinacosb-cosasinb=0，即sin（a-b）=0，a=b.三角形为等腰三角形，故选答案c.答案：c5.sin15sin75的值是_.解析：原式=sin（45-30）sin（45+30）=（sin45cos30-cos45sin30）（sin45cos30+cos45sin30）=（）（）=.答案：6.的值为_.解析：原式=答案：1综合运用7.a=sin12+cos12与b=sin56的大小关系是（ ）a.a=b b.ab c.ab d.ab解析：化简a=sin（12+45）=sin57，ab.答案：c8.在abc中，已知cosa=，sinb=，则cosc等于（ ）a. b. c.或 d.解析：cosc=cos-（a+b）=-cos（a+b）=-cosacosb+sinasinb.因为cosa=，所以a必为锐角，所以sina=.因为sinb=，若b为钝角，则b，a，所以1312a+b，所以b不可能为钝角，故b必为锐角.所以cosb=，则cosc=-+=.答案：a9.如下图，abc中，bac=45，bc边上的高ad将bc分成2 cm和3 cm两段，求abc的面积.解：设bad=，cad=，ad=x.在rtadb中，tan=.在rtadc中，tan=.tan45=即=1.解这个方程，得x=6或x=-1（舍），故sabc=56=15（cm2）.拓展探究10.（探究题）是否存在锐角、，使+2=，tantan=（2-）同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角，则由式得tan（+）=.将式代入得tan+tan=3-.所以tan，tan是方程x2-（3-）x+（2-）=0的两个根.解得x1=1，x2=2-.又0，所以tan1.所以tan=2-，tan=1，tan=tan（+）所以=，=.所以存在=，=使式同时成立.备选习题11.已知tan、tan是一元二次方程x2+x+4=0的两个根，（-，），求+.解：易知tan（+）=，（-，），又tan+tan=-30，tantan=40，tan0，tan0.（-，0），（-，0）.+（-，0）.+=-.12.已知sin（2+）+2sin=0，求证：tan=3tan（+）.证明：由条件得：sin（+）+2sin（+）-=0，sin（+）cos+cos（+）sin+2sin（+）cos-2cos（+）sin=0.sincos（+）=3cossin（+）.即：tan=3tan（+）.13.求证：tan（+）-tan（-）-tan2=tan（+）tan（-）tan2.证明：由角之间的关系观察到2=（+）-（-），所证等式可由tan2=tan（+）-（-）变形而得到.tan2=tan（+）-（-）=tan21+tan（+）tan（-）=tan（+）-tan（-）.tan2+tan（+）tan（-）tan2=tan（+）-tan（-）.tan（+）-tan（-）-tan2=tan（+）tan（-）tan2.14.tan，tan是方程ax2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan（+）的取值范围.解析：因为tan、tan是方程ax2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有=（2a+1）2-4a（a+2）0且a0.解得a且a0,a的取值范围是（-，0）（0，.由根与系数关系知tan+tan=，tantan=.于是tan（+）=由于-a-=.且-a-，tan（+）的取值范围是，-）（-，+）.1