高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式（第3课时）学案 新人教A版选修45.doc

一 不等式3.三个正数的算术几何平均不等式1了解三个正数的算术几何平均不等式2会应用三个正数的算术几何平均不等式解决简单问题1三个正数的算术几何平均不等式如果a，b，cr，那么_，当且仅当_ 时，等号成立【做一做11】 若x0，则4x的最小值是()a9 b3 c13 d不存在【做一做12】 若logxy2，则xy的最小值是()a. b. c. d.2n个正数a1，a2，an的算术几何平均不等式对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_.当且仅当_时，等号成立从不等式的式子结构入手，拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点【做一做2】 已知a，b，cr，则()()_.答案：1.abc【做一做11】 bx0，4x2x2x3，当且仅当2x，即x时等号成立【做一做12】 alogxy2，x0且x1，y0，且yx2.xyxx23.当且仅当即x时等号成立2不小于a1a2an【做一做2】 9()()3369.当且仅当abc时取等号1三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的如abc3，取ab2，c2时，abc2，而36，显然26不成立“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1a2an为定值)，求其积a1a2an的最大值；二是已知乘积a1a2an为定值，求其和a1a2an的最小值“三相等”：取“”号的条件是a1a2a3an，不能只是其中一部分相等不等式a2b22ab与a3b3c33abc的运用条件不一样，前者要求a，br，后面要求a，b，cr.要注意区别2灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如yx2，其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：yx2x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“”号的条件是x2，显然x无解 题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值【例1】 已知xr，求函数yx(1x2)的最大值分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2x2(1x2)2x2(1x2)(1x2)2x2(1x2)(1x2).求出最值后再开方反思：拼凑数学结构，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：yx(1x2)x(1x)(1x)x(22x)(1x)()3.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“”号的条件，显然x22x1x无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】 设a，b，cr，求证：(abc)()9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明反思：三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学可知，桌子边缘一点处的照亮度e和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即ek，这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？分析：反思：处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解答案：【例1】 解：yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y2()3.当且仅当2x21x2，即x时取等号成立y.y的最大值为.【例2】 证明：a，b，cr，abc3，3.(abc)()9.当且仅当abc时，等号成立【例3】 解：r，ek(0)，e2sin2cos4(2sin2)cos2cos2()3，当且仅当2sin2cos2时取等号，即tan2，tan ，h2tan ，即h时，e最大灯的高度h为时，才能使桌子边缘处最亮1已知为锐角，求ysin cos2的最大值2求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大3已知xr，求函数yx2(1x)的最大值4设a，b，cr，求证：.答案：1分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因式的和为定值要特别注意sin2cos21的应用解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2).当且仅当2sin21sin2，即sin 时取等号此时ymax.2证明：设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x，y，z，则长方体的体积为vxyz，表面积为a2xy2yz2xz，则a2xy2yz2xz.而这里a为定值，即a，从而有v，当且仅当xyyzxz，即xyz时，等号成立所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为.所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大3分析：本题积结构中x2xx，所以yx2(1x)xx(1x)，为使“和”为定值，还需拼凑系数解：yx2