高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时自测 新人教A版选修11.doc_第1页
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3.4 生活中的优化问题举例1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数解析式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a.13万件b.11万件c.9万件 d.7万件【解析】选c.因为y=-x2+81,所以当x(9,+)时,y0,所以函数y=-13x3+81x-234在(9,+)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0,+)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.2.在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为:y=-18t3-34t2+36t-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是()a.6时b.7时c.8时d.9时【解析】选c.y=-38t2-32t+36=-38(t+12)(t-8),令y=0,得t=-12(舍去)或t=8,当6t0,当8t9时,y0,所以当t=8时,y有最大值.3.把长为60m的铁丝围成矩形,当长为m,宽为m时,矩形的面积最大.【解析】设矩形的长为xm,则宽为(30-x)m,矩形面积s=30x-x2(0x30),由s=30-2x=0,得x=15,易知x=15时,s取得最大值.答案:15154.某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)=x260-x2(0x60),则当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为.【解析】v(x)=60x2-x32,v(x)=-32x2+60x.令v(x)=0,得x=40或x=0(舍去).因为0x0;40x60时,v(x)0,所以x=40时,v(x)最大.答案:405.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)【解析】依题意,有xy+12xx2=8,所以y=8-x24x=8x-x4(0x42),于是框架用料长度为l=2x+2y+22x2=32+2x+16x.l=32+2-16x2.令l=0,即32+2-16x2=0,解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).当0x8-42时,l0;当8-42x0,所以当x=8-42时,l取得最小值.此
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