高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质成长学案 新人教A版选修41.doc

三 相似三角形的判定及性质主动成长夯基达标1.如图1-3-6，在abc中，bac90，d是bc中点，aead交cb延长线于点e，则结论正确的是()图1-3-6a.aedacbb.aebacdc.baeaced.aecdac思路解析:本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项.答案:c2.如图1-3-7所示，已知d是abc中ab边上一点，debc且交ac于e，efab且交bc于f，且sade =1，sefc=4，则四边形bfed的面积等于()图1-3-7a.2b.4c.5d.9思路解析:由题易得adeefc，sadesefc=14，aeec12，aeac13.sadesabc=19.s四边形bfed=5.答案:c3.如图1-3-8，d是abc的ab边上的一点，过点d作debc交ac于e.已知addb =23,则sades四边形bced为()图1-3-8a.23b.49c.45d.421思路解析:debc，adeabc.又addb =23，adab =25.其面积比为425，则sades四边形bced =421.答案:d4.如图1-3-9所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高()图1-3-9a.11.25 mb.6.6 mc.8 md.10.5 m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如右图，等腰aoc等腰bod,oa =1 m,ob =16 m,高ce =0.5 m ,求高df.由相似三角形的性质可得oaob =cedf，即116=0.5df，解得df =8 m.答案:c5.有一块三角形铁片abc，已知最长边bc =12 cm,高ad =8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在bc上，其余两个顶点分别在ab、ac上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（）a.18 cm2或 b.20 cm2或18 cm2 c.16 cm2d.15 cm2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长ef在bc上，g、h分别在ac、ab上，高ad交gh于k，设矩形的宽为x cm,则长为2x cm,由hgbc,得ahgabc，得= = cms矩形efgh=2x2=；如图(2)，矩形的宽mn在bc上，类似地可求得s矩形mnpq=18 cm2.答案:a6.如图1-3-10，在abc中，点d在线段bc上，bac=adc，ac=8，bc=16，那么cd= .图1-3-10思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即abcdac.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案:47.如图1-3-11，abc中c为直角，def中f为直角，deac，交ac于g，交ab于h，dfab，交ab于i，求证:abcdef.图1-3-11思路分析:由于abc和def都是直角三角形,要证它们相似,根据“有一锐角对应相等的两个直角三角形相似”的判定方法,只需证一个锐角对应相等即可.证明:hidf，efdf,hief，dihdfe90.dhidef.dhidef.dihagh90，dhiahg,dhiahg.aa，aghacb90,aghacb.abcdef.也可用两角相等来证,def =ahg =b,从而defabc.8.如图1-3-12，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.图1-3-12(1)图中abc与ade是否相似?为什么?(2)求古塔的高度.思路分析:由题意知，abc与ade相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解:(1)abcade.bcae，deae，acbaed 90.aa，abcade.(2)由(1)得abcade,=.ac2 m，ae 21820 m，bc1.6 m,=.de =16.答:古塔的高度为16 m.9.一块直角三角形木板的一条直角边ab长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-13(1)(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由.(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图1-3-13思路分析:两个图形中均有相似三角形，题图(1)中=，即=，可得正方形的边长;题图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解:由ab =1.5米，sabc=1.5平方米，得bc =2米.如题图(1)，若设甲加工的桌面边长为x米，由deab，推出rtcdertcba，可求出x =米.如题图(2)，过点b作rtabc斜边上的高bh，交de于p，交ac于h.由ab =1.5米，bc=2米，sabc=1.5平方米，得ac =2.5米，bh =1.2米.设乙加工的桌面边长为y米，deac，rtbdertbac.=,即=.解得y =.= ,即xy,x2y2,甲同学的加工方法符合要求.走近高考10.如图1-3-14，已知abc中，defgbc，addffb =234，求sades四边形degfs四边形bcgf.图1-3-14思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出ade、afg和abc的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知defgbc的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解：addffb =234，设ad =2k,df =3k,fb =4k(k0)，则af =5k,ab =9k.defg,adeafg.=()2=()2=.同理,可得=()2=.设sade =4a,则safg=25a,sabc =81a(a0).s四边形degf =25a - 4a =21a，s四边形bcgf=81a - 25a = 56a.sades四边形degfs四边形bcgf=42156.11.如图1-3-15，已知在abc中，d是bc边上的中点，且ad =ac，debc，de与ab相交于点e，ec与ad相交于点f.图1-3-15(1)求证:abcfcd；(2)若sfcd=5，bc10，求de的长.思路分析:第(1)问,ad = ac，acb=cdf.又d是bc中点，edbc，b=ecd.abcfcd.第(2)问利用相似三角形的性质，作ambc于m，易知sabc=4sfcd.sabc=20，am =4.又amed，=.再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出de.也可运用abcfcd，由相似比为2，证出f是ad的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出sabc=20.(1)证明:debc，d是bc中点，eb =ec.b=1.又ad=ac，2=acb.abcfcd.(2)解法一:过点a作ambc，垂足为点m.(如图所示)abcfcd，bc =2cd，=()2=4.又sfcd =5，sabc =20.sabc= bcam，bc =10，20 =10am.am =4.又deam，=. ，bm =bd +dm，bd =，=.解法二:作fhbc，垂足为点h.(如图所示)sfcd = dcfh，又sfcd=5， ，5=5fh.fh =2.过点a作ambc，垂足为点m，abcfcd，= =.am =4.又fham，= = =.点h是dm的中点.又fhde，=.hc =hm +mc=，=.12.如图1-3-16,已知rtabc中,d是斜边ab的中点,deab于d,交ac于f,交bc延长线于e,bgba,交dc延长线于h,交ac延长线于g.图1-3-16求证:(1)ghce =dfbc;(2)dc2=dfde;(3)chcd =ghde;(4)gbba =chbh;(5)chef =badf.思路分析:(1)欲证原式,只需证=,可在图(c)中由bhde,容易得到=, =,利用中间比代换即可,还可选中间比为.(2)在图(f)中欲证原式,只需证=,发现它们分别属于有公共角cdf的两个三角形:dcf和dec.只需利用“直角三角形斜边中线的性质”及“同角的余角相等”证得1=e即可.(3)欲证原式,只需证=.可直接证明cghecd(图(c)也可利用相似三角形的传递性(cghcfd,cfdecd)来实现.(4)所要证的比例式中的四条线段既不满足“三角形一边的平行线”条件,也不构成相似三角形的对应边,但在