高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线的弦中点及弦长问题例析素材 北师大版选修21.doc_第1页
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抛物线的弦中点及弦长问题例析直线与抛物线相交于两点a(x，y)，b(x，y)，对于弦中点问题常用“设而不求”的方法，即：设抛物线方程为y= 2px，则= 2px，= 2px，两式相减有(yy)( yy) = 2p(xx)，=设ab中点为(x，y)，则有=，即转化为中点斜率问题，也可以将直线方程与抛物线方程联立，转化为二次方程问题，结合根与系数之间的关系将问题解决对于弦长问题可用定义或弦长公式|ab| =| xx|下面介绍两例xypofqmr例1 抛物线y= 8x上有一点p(2，4)，以p为一个顶点，作抛物线的内接pqr，使得pqr的重心是抛物线的焦点，求qr所在直线的方程解：由题意，知抛物线y= 8x的焦点f(2，0)f为pqr的重心，p(2，4)，qr中点m(2，2)，如图，设q(x，y)，r(x，y)，则有= 8(xx)，又yy=4，=2，故所求弦qr所在直线方程为y2 =2(x2)，即2xy2 = 0评析：由p点坐标及重心(f)的坐标可求出qr的中点m(2，2)，将该问题转化为已知弦中点，求弦所在直线的方程要注意设而不求的解题技巧与转化、化归思想在解题中的应用例2 已知抛物线y= 2x，过点q(2，1)作一条直线交抛物线于a、b两点，试求弦ab中点的轨迹方程解：设弦ab的中点m(x，y)，并设a(x，y)，b(x，y)a、b在抛物线上，= 2x，= 2x，又yy= 2y，y(yy) = xx又xx，=，=把代入，整理得yy = x2，即(y)= x若x= x，此时ab的中点为(2，0)，也在抛物线(y)= x上，所求轨迹方程为(y)= x评析：解题过程中要注意“设而不求”，两式相减出现中点斜率
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