高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换（1）课时提升作业1 新人教A版必修4.doc

简单的三角恒等变换(一)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015湖州高一检测)已知cos=-15，523，那么sin2等于()a.105b.-105c.155d.-155【解析】选d.因为523，所以54232，所以sin20，sin2=-1-cos2=-1+1512=-155.2.已知tan2=3，则cos=()a.45b.-45c.415d.-35【解析】选b.cos=cos22-sin22=cos22-sin22cos22+sin22=1-tan221+tan22=1-91+9=-45.3.3-sin702-cos210=()a.12b.22c.2d.32【解题指南】70与20可以用诱导公式联系起来，10与20可以用二倍角公式联系起来.【解析】选c.因为3-sin702-cos210=3-sin702-1+cos202=2(3-sin70)3-sin70=2.4.(2015宁波高一检测)化简21+sin10+2+2cos10的结果是()a.2sin5b.4cos5+2sin5c.-4cos5-2sin5d.-2sin5【解析】选d.原式=2(sin5+cos5)2+2(1+cos10)=2|sin5+cos5|+22cos25=2|sin5+cos5|+2|cos5|，因为32574，所以sin50且|cos5|sin5|，所以原式=-2(sin5+cos5)+2cos5=-2sin5.【补偿训练】化简2+cos2-sin21的结果是()a.-cos 1b.cos 1c.3cos 1d.-3cos 1【解析】选c.原式=2+1-2sin21-sin21=3-3sin21=3(1-sin21)=3cos21=3cos1.5.(2015济南高一检测)若4,2，sin2=378，则sin=()a.35b.45c.74d.34【解析】选d.因为4,2，所以22,，所以cos2=-1-sin22=-18，所以sin=1-cos22=34.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015沧州高一检测)设56，cos2=a，那么sin4等于_.【解析】因为56，所以54432.所以sin40.所以sin4=-1-cos22=-1-a2=-221-a.答案：-221-a7.若sin2-2cos2=0，则tan=_.【解析】由sin2-2cos2=0，得tan2=2，则tan=2tan21-tan22=-43.答案：-438.已知sin2=23，则cos2+4=_.【解题指南】利用“降幂公式”将cos2+4化简，建立与sin2的关系，可得结果.【解析】因为cos2+4=1+cos2+42=1+cos2+22=1-sin22，所以cos2+4=1-sin22=1-232=16.答案：16三、解答题(每小题10分，共20分)9.化简下列各式.(1)1+sin-1-sin322.(2)sin(2+)sin-2cos(+).【解析】(1)原式=sin2+cos2-sin2-cos2，因为322，所以342，所以0sin222，-1cos2-22，从而sin2+cos20.所以原式=-sin2+cos2-sin2-cos2=-2sin2.(2)因为2+=+(+)，所以原式=sin(+)+-2cos(+)sinsin=sin(+)cos-cos(+)sinsin=sin(+)-sin=sinsin.10.求证tan3x2-tanx2=2sinxcosx+cos2x.【解题指南】可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x=3x2-x2，2x=3x2+x2，从消除等式两边角的差异入手考虑.【证明】tan3x2-tanx2=sin3x2cos3x2-sinx2cosx2=sin3x2cosx2-cos3x2sinx2cos3x2cosx2=sin3x2-x2cos3x2cosx2=sinxcos3x2cosx2=2sinxcos3x2-x2+cos3x2+x2=2sinxcosx+cos2x，所以原式成立.【一题多解】本题还可以采用以下方法.2sinxcosx+cos2x=2sin3x2-x2cos3x2-x2+cos3x2+x2=2sin3x2cosx2-cos3x2sinx22cos3x2cosx2=sin3x2cos3x2-sinx2cosx2=tan3x2-tanx2.所以原式成立.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015秦皇岛高一检测)若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2，则f12的值为()a.-433b.8c.43d.-43【解析】选b.因为f(x)=2tanx+1-2sin2x212sinx=2tanx+2cosxsinx=2sinxcosx=4sin2x，所以f12=4sin6=8.2.已知为第二象限角，25sin2+sin-24=0，则sin2的值是()a.-35b.35c.45d.45【解析】选d.由25sin2+sin-24=0得(sin+1)(25sin-24)=0，解得sin=-1或sin=2425，又因为为第二象限角，所以sin=2425，所以cos=-1-sin2=-1-24252=-725，因为为第二象限角，所以2为第一或第三象限角.所以sin2=1-cos2=1625=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.化简2-2+2+2cos(34)=_.【解题指南】利用二倍角公式化简1cos时，由于1+cos=2cos22，1-cos=2sin22，则1+cos=2cos2，1-cos=2sin2，再根据2所在象限确定sin2，cos2的符号，从而去掉绝对值符号.【解析】因为34，所以3222，344，3880，cos40.所以原式=2-2+4cos22=2-2+2cos2=2-4cos24=2+2cos4=4cos28=2cos8.答案：2cos8【误区警示】运用倍角公式从里到外去掉根号时，容易出现没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式的错误.4.已知tan2=342，则2cos22+sin-12cos+4=_.【解析】因为tan2=2tan1-tan2=34，所以tan=-3或tan=13.又2，所以tan=-3.所以2cos22+sin-12cos+4=cos+sincos-sin=1+tan1-tan=1-31+3=-12.答案：-12三、解答题(每小题10分，共20分)5.求证：2sinxcosx(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx.【证明】左边=2sinxcosx2sinx2cosx2-2sin2x22sinx2cosx2+2sin2x2=2sinxcosx4sin2x2cos2x2-sin2x2=sinx2sin2x2=cosx2sinx2=2cos2x22sinx2cosx2=1+cosxsinx=右边，所以原等式成立.【拓展延伸】三角恒等变换的两个原则(1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.(2)清除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.注意：要正确把握公式的结构，明确变形方向，才能准确地应用公式，达到求解目的.6.已知函数f()=-12+sin522sin2(0).(1)将f()表示成关于cos的多项式.(2)若ar，试求使曲线y=acos+a与曲线y=f()至少有一个交点时a的取值范围.【解析】(1)f()=-12+sin2cos2+cos2sin22sin2=-12+4cos22coss