高中数学 第一章 计数原理 3 组合学案 北师大版选修23.doc

3组合学习目标重点难点1.通过实例能理解组合的概念2能利用计数原理推导组合数公式3能理解组合数的性质4能用组合数公式解决简单的实际问题.重点：排列数与组合数的区分难点：排列与组合的区分，利用组合数公式解决有关问题.1组合一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题预习交流1如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题2组合数我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号c表示c.规定c1.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再除以m！就得组合数公式3组合数的性质性质1：cc.性质2：ccc.预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n个元素中取m个元素，剩余(nm)个元素，故cc.从n1个元素中取m个元素记作c，可认为分作两类：第一类为含有某元素a的取法为c，第二类不含有此元素a，则为c，根据分类加法计数原理得ccc.1组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题(1)设集合aa，b，c，d，则集合a的含有3个元素的子集有多少个？(2)一个班中有52人，任意两个人握一次手，共握多少次手？(3)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换任何两个元素的顺序，看结果有无影响，如无影响则是组合问题解：(1)因为集合中取出元素具有“无序性”，故这是组合问题；(2)因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；(3)因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题下列问题中，是组合问题的有_(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法；(3)a，b，c，d四支足球队进行单循环比赛，共需多少场比赛；(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果答案：(1)(3)解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题与顺序无关的是组合问题，与顺序有关的是排列问题2组合数公式及组合数的性质(1)计算cc；(2)已知cc，求n；(3)化简ccccc.思路分析：先把组合数利用性质进行化简，或利用组合数性质求解解：(1)cccc2005 150.(2)由cc，知3n64n2或3n6(4n2)18.解得n8或n2.而3n618且4n218，即n4且nn，n2.(3)cccccccccccccccccccccccccc126.(1)cccc_；(2)(cc)a_.答案：(1)329(2)解析：(1)原式cccccccc1cc1c1329.(2)原式cacaa.熟记公式、正确地选用公式、准确地计算是解决此类题的关键3组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即c45(种)(2)从6名男教师中选2名的选法有c，从4名女教师中选2名的选法有c种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法cc90(种)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有cc350(种)选法(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有cc165(种)选法(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选故共有cccc825(种)选法或采用间接法：cc825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生故共有ccccc966(种)选法(5)分两类：第一类，女队长当选，有c种选法；第二类，女队长不当选，有ccccccc(种)选法，故选法共有cccccccc790(种)利用组合知识解决实际问题要注意：将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；要使用分类方法，要做到不重不漏；当问题的反面比较简单时，常用间接法解决1给出下面几个问题，其中是组合问题的有()某班选10名同学参加拔河比赛；由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a的坐标；由1,2,3,4选出两个数分别作为实轴长和虚轴长，构成焦点在x轴上的双曲线方程；从正方体8个顶点中任取两个点构成线段a b c d答案：b解析：由组合的概念知是组合问题2c2cc()ac bc cc dc答案：b解析：原式ccccccc.3平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个点作圆，共可作圆()个a220 b210 c200 d1 320答案：a解析：由题意知c220.4方程ccc的解集是_答案：5解析：ccc，cc.由组合数的性质得x12x2或x12x216，解得x13(舍)，x25.5平面内有10