高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系 作差比较法的应用素材 北师大版必修5.doc_第1页
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作差比较法的应用比较法是证明不等式的最基本方法，解决问题时，往往是最基本方法也是最有效方法，最能够体现高考强调的“通性通法”。比较法分为比差法与比商法两种。本文主要讲解“比差法”。一、方法细解1、比差法步骤是“作差变形判断”三步组成，比差法的判断是与“零”比较。2、比较法证明不等式时，先作差，再变形，比差法的依据是： ；。作差法的关键是变形，它具有方向性和技巧性，常用的技巧有：（1）分解因式；（2）配方；（3）有理化分子；（4）分类讨论；（5）平方后作差。二、比较法的应用1、直接应用例1、已知，且，在（1）；（2）；（3）；（4），四个式子中恒成立的是（ ）a、4个 b、3个 c、2个 d、1个解：（1）（4）举反例很容易排除，对于（2），利用作差法：，而ab的符号是不确定的，故差值符号不能确定，因此（2）不正确；对于（3），故（3）正确，综合以上分析，只有（3）正确，故选d.点评：这种题型在高考中经常出现，比差法是常用的方法技巧。要熟练的应用因式分解发、配方法、提取公因式等技巧。例2 设a、b是正实数，以下不等式（1）；（2）；（3）恒成立的序号为（ ）a、（1）（2） b、（1）（3） c、（2）（3） d、（3）解：（1），（1）不合题意，排除a、b；（2），即，不合题意，排除c；（3），所以成立，故选d.点评：能够利用基本方法，通过熟练的运用配方化为平方和的形式，容易判断作差后与零的大小关系。分式型比较大小，先通分变化后再比较。例3 已知a、b、c、d正实数，且，则（ ）a、 b、c、 d、以上均可能解：因为，又因为a、b、c、d正实数且，所以，所以，又因为，所以，故选a.点评：形式上比较复杂，但是通过作差、通分很容易比较它们的大小关系。例4、 已知函数，若，则（ ）a、 b、 c、 d、与的大小不能确定解：因为，且1a0，所以。点评：采用作差法比较容易的解决。而利用二次函数的单调性，需要讨论区间与对称轴的位置，过程复杂，可见在处理数学问题时，往往最基本的方法也是最有效的方法。2、活用比差法解决恒成立问题例4、若不等式对容易实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）a、 b、 c、 d、解：，对题意实数x、y都成立，则恒成立，而，所以，故选c.点评：解决本题的关键是先作差，再求解函数f（x）的最大值，作差、平方类比较法可以巧妙求解函数f（x）的最值。3、逆用例5、 设，若，则实数a、b应满足的
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