高中数学 第三章 推理与证明 第4节 反证法学案 北师大版选修1-2.DOC

4反证法1了解间接证明的一种基本方法反证法2了解反证法的思考过程、特点1反证法的定义(1)在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者_我们可以先假定命题结论的_成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题结论的反面_成立，由此断定命题的结论_这种证明方法叫作_(2)反证法是一种_证明的方法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可以作为条件使用的是()结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论a bc d2反证法的证明步骤(1)作出_的假设；(2)进行推理，导出_；(3)否定_，肯定_适宜用反证法证明的数学命题：(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理常见的矛盾：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.【做一做21】 命题“在abc中，若ab，则ab”的结论的否定应该是()aab bab cab dab【做一做22】 若a，b，c不全为零，必须且只需()aabc0 ba，b，c中至少有一个为0ca，b，c中只有一个是0 da，b，c中至少有一个不为0答案：1(1)必居其一反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立反证法(2)间接【做一做1】 c2(1)否定结论(2)矛盾(3)假设结论【做一做21】 b【做一做22】 da，b，c不全为零，即a，b，c中至少有一个不为0.1反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现哪些情况？剖析：可能会出现以下三种情况：(1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾2使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，请列举一下常见的“结论词”与“反设词”剖析：列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q非p且非q至多有n个至少有n1个p且q非p或非q题型一 反证法证明含否定词的问题【例题1】 如图，ab，cd为圆的两条相交弦，且不全为直径求证：ab，cd不能互相平分分析：本题要证明的是ab，cd能不能互相平分，能与不能二者必居其一由于不易证明“ab，cd不能互相平分”，不妨假设“ab，cd能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“ab，cd不全为直径”矛盾的结论反思：用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立另外，证明含否定词的命题常用反证法题型二 反证法证明结论中含有“至多”“至少”类命题【例题2】 已知a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.反思：结论中含有“至少”“至多”等词的命题，常用反证法，注意反设要写正确，这是反证法证题的关键题型三 反证法证明不易直接证明的问题【例题3】 已知x，y，zr，xyz1，x2y2z2，求证：x，y，z.分析：本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明反思：像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测、不易证明的题目，应考虑用反证法证明答案：【例题1】 证明：假设ab，cd互相平分，则四边形acbd为平行四边形，所以acbadb，cadcbd.因为四边形acbd为圆内接四边形，所以acbadb180，cadcbd180.因此acb90，cad90，所以对角线ab，cd均为直径，这与已知中“ab，cd不全为直径”相矛盾因此ab，cd不能互相平分【例题2】 证明：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，得abc0，而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾，a，b，c中至少有一个大于0.【例题3】 证明：假设x，y，z中有负数，不妨设x0，则x20.又yz1x，y2z2，x2y2z2x2x2x2xx.x0，x0.x0.x，矛盾，x，y，z中没有负数假设x，y，z 中有一个大于，不妨设x，则x2y2z2x2x2x2xx.x，x0.x0.x，矛盾x，y，z中没有大于的综上所述，x，y，z.1命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()a无解 b两解c至少有两解 d无解或至少有两解答案：d2设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c ()a都大于2 b至少有一个大于2c至少有一个不小于2 d至少有一个不大于2答案：c2226，当且仅当abc1时取“”3“任何三角形的三个内角中至少有两个是锐角”的否定应是_答案：存在一个三角形，其三个内角中最多有一个是锐角4如图所示，在abc中，abac，ad为bc边上的高线，am是bc边上的中线求证：点m不在线段cd上答案：分析：点m不在线段cd上不易证出，可假设点m在线段cd