高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数课堂探究 新人教B版必修1.doc

3.1.2 指数函数课堂探究探究一 指数函数的概念1判断一个函数是指数函数的方法：(1)看形式：即看是否符合yax(a0，a1，xr)这一结构形式(2)明特征：指数函数的解析式具备的三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数2已知某个函数是指数函数求参数值的步骤(1)列：依据指数函数解析式所具备的三个特征，列出方程(组)或不等式(组)(2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值或范围【典型例题1】 函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值思路分析：只需让解析式符合yax这一形式即可解：因为y(a23a3)ax是指数函数，所以解得所以a2.探究二 求指数型函数的定义域、值域求函数的定义域问题，即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求函数的值域问题主要是借助指数函数的性质，先求出指数位置上的表达式的取值范围，再求原函数的值域【典型例题2】 求下列函数的定义域与值域：(1)y；(2)y；(3)y.解：(1)要使函数y2有意义，则有x30，即x3；因为0，所以y1.所以所求函数的定义域是x|xr，且x3，值域为y|y0，且y1(2)因为y中的|x|0，所以0y1.所以所求函数的定义域为r，值域为y|0y1(3)已知函数可化为y，由0，得x1.又由0，得y1.所以所求函数的定义域为x|x1，值域为y|y1探究三 利用指数函数的性质比较大小利用指数函数的性质比较大小的方法：1把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较；2若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较；3当底数a的情形不确定时，要分类讨论，有些底数不相同的，需利用幂的性质化归为同底，再利用单调性得出结果【典型例题3】 比较下列各组数的大小：(1) 与；(2)与1； (3)(0.6)2与.思路分析：若两个数是同底指数幂，则直接利用指数函数的单调性比较大小；若不同底，一般用中间值法解：(1)02.6，.(2)01，y在定义域r内是减函数又1，1.(3)0.620.601， .探究四 指数函数的图象问题1牢记指数函数yax(a0，a1)的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限2明确影响指数函数图象特征的关键是底数3平移变换(0)，如图(1)所示图(1)图(2)4对称变换，如图(2)所示【典型例题4】 函数yax12(a0，且a1)的图象恒过定点_解析：方法一：指数函数yax(a0，a1)的图象过定点(0,1)，函数yax12中令x10，即x1，则y123.函数图象恒过定点(1,3)方法二：函数可变形为y2ax1，把y2看作x1的指数函数，则当x10，即x1时，y21，即y3.函数图象恒过定点(1,3)方法三：由图象变换可知：指数函数yax(a0，且a1)的图象过定点(0,1)，yax1的图象恒过定点(1,1)yax12的图象恒过点(1,3)答案：(1,3)【典型例题5】 先作出函数y2x的图象，再通过图象变换作出下列函数的图象：(1)y2x2，y2x1；(2)y2x1，y2x2；(3)y2x，y2x，y2x.思路分析：先作出y2x的图象，再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象；由y2x的图象作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象解：列表：x3210123y2x1248根据上表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图(1)所示图(1)(1)函数y2x2的图象可以由y2x的图象向右平移2个单位长度得到，函数y2x1的图象可以由y2x的图象向左平移1个单位长度得到图象如图(1)所示(2)函数y2x1的图象可以由y2x的图象向上平移1个单位长度得到，函数y2x2的图象可以由y2x的图象向下平移2个单位长度得到图象如图(2)所示图(2)(3)函数y2x的图象由y2x的图象关于y轴对称后得到；函数y2x的图象由y2x的图象关于x轴对称后得到；函数y2x的图象由y2x的图象关于原点对称后得到图象如图(3)所示图(3)探究五 易错辨析易错点误解“左加右减”法则而致误【典型例题6】 函数y2x1的图象是由y2x的图象怎样变化得到的？错解：由“左加右减”法则，把y2x的图象向左平移一个单位长度，得到y2x1的图象错因分析：图象的左右平移是对于自变量x来说的，因此平移只对自变量x起作用，与自变量的函数无关正解：因为y2x12(x1)，所以把y2x的图象向右平移一个单位长度可得到y2x1的图象易错点忽视了函数的定义域而致误【典型例题7】 求函数y4x2x13，x(，1的值域错解：(换元法)y(2x)222x3，令2xt，则原函数化为yt22t3(t1)22.当t1时，ymin2，即y2，即函数y4x2x13，x(，1的值域为2，)错因分