高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数例题与探究（含解析）北师大版必修4.doc

3.2 两角和与差的三角函数典题精讲例1计算.思路分析：10、20角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30为特殊角，所以把10等价代换成30-20后就可以用两角差的公式化简.解：=.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；（2）化为正负相消的项，消项，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值；（4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在0, 内的三角函数；（5）特别注意诱导公式的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13 cos43cos77+sin43cos167的值为_.思路分析：原式=cos43cos77+sin43cos(90+77)=cos43cos77-sin43sin77=cos(43+77) =cos120=-.答案：-变式训练2求sincos-sinsin的值.思路分析：观察分析这些角的联系，会发现=-，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sin变为cos，进而用和差角的正余弦公式求解. 解：原式=sincos-sin（-）sin=sincos-cossin=sin（-）=sin=.例2(2006重庆高考卷，理13)已知,（,），sin(+)=,sin（-）=,则cos（+）=_.思路分析：利用+=(+)-(-)来求值. ,（,）， (+)(,2).cos(+)=.又(-)(,)，cos(-)=-.cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)= (-)+( )=-.答案：-绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：=(+)-，2=(+)+(-)，+2=(+)+等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(+)和sin（-）展开，通过解方程组求sin和cos，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境.变式训练1已知cos=，cos（+）=，且、（0，），求cos的值.思路分析：观察得=（+）-，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.解：、（0，），0+.cos=，cos（+）=，sin=，sin（+）=.cos=cos（+）-=cos（+）cos+sin（+）sin=+=.cos=.变式训练2已知sin+sin=，cos+cos=，求cos（-）的值.思路分析：由于cos（-）=coscos+sinsin，欲求cos（-）的值，只需要求出coscos+sinsin的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得coscos+sinsin的结果.解：(sin+sin)2=，(cos+cos)2=，sin2+2sinsin+sin2=,cos2+2coscos+cos2=.+得2+2（coscos+sinsin）=1， 2+2cos（-）=1.cos（-）=-.例3已知锐角、满足sin=，cos=，求+.思路分析：要求+的值，需先求+的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解：、是锐角， cos=，sin=.cos（+）=coscos+sinsin=-.由0，0，得到+.+=.绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0, )，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-,)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(+)的值，则会得到+两个值，这样还要将+的范围(0,)再缩小才行，问题就变得复杂了.变式训练1已知sin=,sin=，且和均为钝角，求的值.思路分析：先求cos（）的值，再确定的值.解：和均为钝角，cos=，cos=-.cos(+)=coscos-sinsin=（-）-（-）（-）=.由和均为钝角得+2，=.变式训练2已知tan(-)= ，tan=-，且、(0,)，求2-的值.思路分析：转化为2-的正切值，其中注意角的变换2-=(-)+.解：tan(-)= =，. tan=1tan=0.又 (0,)，(0,).2(0,).(0,)，tan=-,(,).-2-0.tan(2-)=tan(-)+=10，2-=-.例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin（x+）-2cosx,x,.（1）若sinx=，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域. 解：（1）sinx=,x,cosx=.f(x)=2（sinx+cosx）-2cosx=3sinx-cosx.当sinx=时，函数f(x)=-()=+.（2）f(x)=2sin（x+）-2cosx=sinx-cosx=2sin（x-），x，x-.sin（x-）1. 函数f(x)的值域为1,2.绿色通道：讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=asin(x+)+b的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质. 变式训练1(2006广东广州二模，11)函数y=sin2x-cos2x的最大值是_.思路分析：化为y=asin(x+)+b的形式求最值.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，则最大值为2.答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1）若xr，求函数的最大值和最小值；（2）若x0，求函数的最大值和最小值.思路分析：将sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.解：（1）设t=sinx+cosx=sin（x+）.xr，-t.则t2=1+2sinxcosx， 2sinxcosx=t2-1.y=t2+t+1=（t+）2+，-t.当t=时，y取最大值；当t=-时，y取最小值. ymax=3+2，ymin=.（2）若x0，则t1，2. y3，3+，即ymax=3+，ymin=3.问题探究问题（1）试分别计算tana+tanb+tanc-tanatanbtanc的值：在等边三角形abc中； a=210,b=120,c=30； a=-150,b=30,c=-60.（2）由（1），你发现了什么结论？并加以证明.（3）利用（2）的结论，计算的值.导思：从abc上归纳并猜想出结论.探究：（1）由题意，得a=b=c=60，tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=tan60+tan60+tan60-tan60tan60tan60=+-=0.tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=tan210+tan120+tan30-tan210tan120tan30=+(-)+-(-)=0.tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=tan(-150)+tan30+tan(-60)-tan(-150)tan30tan(-60)=（-）-（-）=0.（2）在（1）中,a+b+c=180，有tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=0；在（1）中,a+b+c=360，有tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=0；在（1）中,a+b+c=-180，有tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=0.猜想：当a+b+c=k180（kz），a，b，ck180+90时，有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc.证明：a+b+