高中数学 第三章 三角恒等变换测评 新人教A版必修4.doc

第三章 三角恒等变换(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若tan =3,则sin2cos2的值为()a.2b.3c.4d.6解析:sin2cos2=2sincos=2tan =6.答案:d2.已知向量a=(cos 75,sin 75),b=(cos 15,sin 15),那么|a-b|等于()a.12b.22c.32d.1解析:|a-b|=2-2(cos75cos15+sin75sin15)=2-2cos60=1.答案:d3.在abc中,tan a+tan b+3=3tan atan b,则c等于()a.3b.23c.6d.4解析:由条件得tan(a+b)=-3,a+b=23,c=3.答案:a4.已知函数f(x)=cos24+x-cos24-x,则f12等于()a.12b.-12c.32d.-32解析:f(x)=cos24+x-sin2x+4=-sin 2x,f12=-sin6=-12.答案:b5.函数y=sin2x+3cosx-6+cos2x+3sin6-x的图象的一条对称轴方程是()a.x=4b.x=2c.x=d.x=32解析:y=sin2x+3cosx-6+cos2x+3sin6-x=sin2x+3+6-x=sin2+x=cos x,故选c.答案:c6.如图,半径为1的圆m切直线ab于点o,射线oc从oa出发绕着点o顺时针方向旋转到ob,旋转过程中oc交m于点p,记pmo为x,弓形onp的面积s=f(x),那么f(x)的大致图象是()解析:当0x时,s=f(x)=12x-12sin x;当x2时,s=f(x)=12x-12sin (2-x)=12x+12sin x.故选a.答案:a7.化简sin235-12cos10cos80=()a.-2b.-12c.-1d.1解析:sin235-12cos10cos80=1-cos702-12cos10sin10=-12cos7012sin20=-1.答案:c8.a,b,c是abc的三个内角,且tan a,tan b是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则abc是()a.钝角三角形b.锐角三角形c.等腰三角形d.等边三角形解析:由一元二次方程根与系数的关系,得tana+tanb=53,tanatanb=13,tan (a+b)=tana+tanb1-tanatanb=531-13=52.在abc中,tan c=tan -(a+b)=-tan (a+b)=-5252d.-52a-12解析:3sin x+cos x=2a-3,32sin x+12cos x=a-32,即sinx+6=a-32.再由-1sinx+61,可得-1a-321,解得12a52,故选a.答案:a11.(2016河南郑州高一期末)已知cos(-)=35,sin =-513,且0,2,-2,0,则sin =()a.3365b.6365c.-3365d.-6365解析:0,2,-2,0,-(0,).又cos(-)=35,sin =-513,sin(-)=1-cos2(-)=45,cos =1-sin2=1213,则sin =sin (-)+=sin(-)cos +cos(-)sin =451213+35-513=3365.故选a.答案:a12.导学号08720098(2016山西曲沃中学高一期末)定义式子运算为a1a2a3a4=a1a4-a2a3,将函数f(x)=1cosx3sinx(其中0)的图象向左平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在0,6上为增函数,则的最大值为()a.6b.4c.3d.2解析:由定义式子运算为a1a2a3a4=a1a4-a2a3,可得函数f(x)=1cosx3sinx=sin x-3cos x=2sinxcos 3-cosxsin 3=2sinx-3,其图象向左平移3个单位,得到函数y=g(x)=2sin x的图象.y=g(x)=2sin x在0,2上递增,又因为y=g(x)在0,6上为增函数,所以26,解得3,所以的最大值为3.答案:c二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.化简2tan(45-)1-tan2(45-)sincoscos2-sin2=.解析:原式=tan(90-2)12sin2cos2=sin(90-2)cos(90-2)12sin2cos2=cos2sin2sin22cos2=12.答案:1214.已知2,且sin =35,则sin22+sin4cos21+cos4的值为.解析:2,sin =35,cos =-45,sin22+sin4cos21+cos4=1-cos2+2sin2cos222cos22=1-cos2+2sin cos =-350.答案:-35015.已知a,b,c皆为锐角,且tan a=1,tan b=2,tan c=3,则a+b+c的值为.解析:因为tan(a+b)=tana+tanb1-tanatanb=1+21-2=-30,又0a2,0b2,0a+b.由知,2a+b,又tan (a+b)+c=tan(a+b)+tanc1-tan(a+b)tanc=-3+31-(-3)3=0,又0c2,2a+b+c60,都是第一象限角,但sin 390sin 60.对于,sin +cos =2sin (+45)232,不正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2015广东高考)已知tan =2.(1)求tan+4的值;(2)求sin2sin2+sincos-cos2-1的值.解:(1)tan+4=tan+tan41-tantan4=tan+11-tan=2+11-2=-3.(2)sin2sin2+sincos-cos2-1=2sincossin2+sincos-(2cos2-1)-1=2sincossin2+sincos-2cos2=2tantan2+tan-2=2222+2-2=1.18.(本小题满分12分)已知cos-2=-277,sin2-=12,且2,0,2.求:(1)cos+2;(2)tan(+).解:(1)2,02,4-2,-42-2.sin-2=1-cos2-2=217,cos2-=1-sin22-=32.cos+2=cos-2-2-=cos-2cos2-+sin-2sin2-=-27732+21712=-2114.(2)4+234,sin+2=1-cos2+2=5714.tan+2=sin+2cos+2=-533.tan(+)=2tan+21-tan2+2=5311.19.(本小题满分12分)(2016河北邢台高一期末)已知向量a=(2cos x,1),b=2sinx+4,-1其中1432,函数f(x)=ab,且f(x)图象的一条对称轴为x=58.(1)求f34的值;(2)若f2-8=23,f2-8=223,且,-2,2,求cos(-)的值.解:(1)向量a=(2cos x,1),b=2sinx+4,-1=(2(sin x+cos x),-1),函数f(x)=ab=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4.f(x)图象的一条对称轴为x=58,258+4=2+k(kz).又1432,=1,f(x)=2sin2x+4,f34=2sin234+4=-2cos 4=-1.(2)f2-8=23,f2-8=223,sin =13,sin =23.,-2,2,cos =223,cos =53,cos (-)=cos cos +sin sin =210+29.20.(本小题满分12分)(2016河南郑州高一期末)已知函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x+2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得的图象向右平移12个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=0在区间0,2上所有根之和.解:(1)函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x+2=cos 2x+3sin 2x+3=2sin 2x+6+3.由-2+2k2x+62+2k,解得k-3xk+6(kz).f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kz).(2)由题意,将图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12,再将所得的图象向右平移12个单位,可得到函数g(x)=2sin4x-6的图象,由0x2,可得-64x-6116,由g(x)=0,可得4x-6=0,.方程g(x)=0在区间0,2上所有根之和=146+6=3.21.(本小题满分12分)(2016贵州遵义航天高中高一期末)如图,以坐标原点o为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点a,点b,p在单位圆上,且b-55,255,aob=.(1)求4cos-3sin5cos+3sin的值;(2)设aop=623,oq=oa+op,四边形oaqp的面积为s,f()=(oaoq-1)2+2s-1,求f()的最值及此时的值.解:(1)依题意,tan =255-55=-2,4cos-3sin5cos+3sin=4-3tan5+3tan=4-3(-2)5+3(-2)=-10.(2)由已知点p的坐标为p(cos ,sin ),又oq=oa+op,|oa|=|op|,四边形oaqp为菱形,s=2soap=sin ,a(1,0),p(cos ,sin ),oq=(1+cos ,sin ),oaoq=1+cos ,f()=(1+cos -1)2+2sin -1=cos2+2sin -1=-sin2+2sin ,12sin 1,当sin =22,即=4时,f()max=12;当sin =1,即=2时,f()max=2-1.22.导学号08720100(本小题满分12分)(2016广东深圳南山期末)设向量oa=(a,cos 2x),ob=(1+sin 2x,1),xr,函数f(x)=|oa|ob|cos aob.(1)当y=f(x)的图象经过点4,2时,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若x为锐角,当sin2x=sin4+sin4-+1-cos22时,求oab的面积;(3)在(1)的条件下,记函数h(x)=f(x+t)(其中实数t为常数,且0t).若h(x)是偶函数,求t的值.解:(1)由题意可得f(x)=|oa|ob|cos aob=oaob=a(1+sin 2x)+cos 2x.图象经过点4,2,a1+sin2+cos2=2a=2,a=1.(2)sin2x=sin4+sin4-+1-cos