高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影 二 平面与圆柱面的截线教材梳理素材 新人教A版选修4-1.doc

一 平行射影二 平面与圆柱面的截线庖丁巧解牛知识巧学 一、正射影点a是平面外一点，过点a向平面作垂线，设垂足为点a，那么把点a称作点a在平面上的正射影.一个图形f上的各点在平面上的正射影也组成了一个图形f，则图形f称作图形f在平面上的正射影.图3-1(2)-2就是正射影的几个例子.图3-1(2)-2 联想发散 一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关，如一条直线，当它和平面垂直时，它在平面上的射影是一个点；当它和平面斜交时，它在平面上的射影是一条直线；它和平面平行时，它在平面上的射影是一条与原直线平行的直线.二、平行射影 设直线l与平面相交，把直线l的方向称为投影方向，过点a作平行于l的直线，与平面交于点a，那么把点a称作点a沿直线l的方向在平面上的平行射影.一个图形f上的各点在平面上的平行射影也组成了一个图形f，则图形f称作图形f在平面上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分，我们对此已经有了了解，如图3-1(2)-3就是平行射影的具体实例.图3-1(2)-3 知识拓展 平行射影的性质:(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的射影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.三、椭圆平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.运输油制品的油罐、圆柱型容器倾斜后所盛液体的液面等，都给我们以椭圆的形象.四、椭圆的组成元素1.如图3-1(2)-4，f1、f2叫椭圆的焦点，f1f2叫椭圆的焦距；ab叫椭圆的长轴，通常用字母a表示；cd叫椭圆的短轴，通常用字母b表示；如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距为2c=.这一个式子反映了椭圆的长轴、短轴及焦距三者之间的关系，我们可以利用这一关系式进行相关的运算.图3-1(2)-42.椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形.因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出.五、椭圆的性质如图3-1(2)5，椭圆上任意一点到焦点f的距离和它到直线l的距离之比为定值，根据这一点，我们有椭圆的第二定义：平面内点m与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=（0e1）时，这个点m的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线，常数e是椭圆的离心率.图3-1(2)-5 关键词分析 e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆.当e=0时，c=0，a=b，两焦点重合，图形就是圆了.可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量.问题探究问题1 一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影是和原来的圆相同的圆，当圆所在的平面与平面不平行时，该圆在平面上的正射影会是什么图形？如果与垂直，该圆在平面上的正射影又会是什么图形？思路:借助于生活经验来理解.探究:一个圆所在的平面与平面平行，那么该圆在平面上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面与平面不平行，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等，但它也有一个特征，就是它到两个定点的距离相等，下一节还会讲到.如果圆所在的平面与平面是互相垂直的，那么该圆在平面上的射影是一条线段.问题2 两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交，那它的形状是什么样子？同理，两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？思路:根据两条直线与投射线的位置关系分类讨论.探究:两条直线相交，可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时，此两直线的平行投影是一条直线；当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行投影仍是两条相交直线，在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行线与投射线平行时，它们的平行射影是两个点；当两条直线确定的平面与投射线平行时，它们的平行射影是一条直线；当两条直线确定的平面与投射线不平行时，它们的平行射影是两条平行直线.典题热题例1rtabc的斜边bc在平面内，则abc的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形只能是( )a.一条线段b.一个锐角三角形c.一个钝角三角形d.一条线段或一个钝角三角形思路分析：（1）当顶点a在平面上的射影a在bc所在直线上时，两条直角边在平面上的射影是一条线段，与斜边线成的图形是线段，如图3-1(2)-6（1）.图3-1(2)-6（2）当顶点a在平面上的射影a不在bc所在直线上时，aa,aaab，aaac.abab，acab2ac2.ab2ac2bc20.bac为钝角.abc为钝角三角形.答案：d例2平面内两个定点的距离为8，动点m到两个定点的距离的和为10，求动点m的轨迹方程.思路分析：根据题意，首先判定动点m的轨迹是椭圆，再求椭圆方程.解：以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆