高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程第2课时课堂探究学案 新人教A版必修1.doc

3.1 函数与方程课堂探究探究一二分法的概念判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用【典型例题1】 用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()ax1 bx2 cx3 dx4思路分析：逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符号，看是否存在区间a，b满足f(a)f(b)0.解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间a，b，使得f(a)f(b)0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3a，b时均有f(a)f(b)0，故不可以用二分法求该零点答案：c探究二 求方程的近似解函数的零点就是对应方程的解，所以，二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算【典型例题2】 求方程lg x2x的近似解(精确度为0.1)思路分析：在同一平面直角坐标系中，画出ylg x和y2x的图象，确定方程的解所在的大致区间，再用二分法求解解：在同一平面直角坐标系中，作出y=lg x，y=2-x的图象如图所示，可以发现方程lg x=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内设f(x)=lg x+x-2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算，得f(1)0，f(2)0x0(1,2)；f(1.5)0，f(2)0x0(1.5,2)；f(1.75)0，f(2)0x0(1.75,2)；f(1.75)0，f(1.875)0x0(1.75,1.875)；f(1.75)0，f(1.812 5)0x0(1.75,1.812 5)|1.812 51.75|0.062 50.1，方程的近似解可取为1.812 5.方法总结利用二分法求方程的近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n1)，nz；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间m；(3)区间m内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间m的一个端点探究三 二分法的实际应用二分法的思想在实际生活中应用十分广泛二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等【典型例题3】 某市a地到b地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？思路分析：对每一段线路一一检查很麻烦，当然也是不必要的，可以利用二分法的思想设计方案解：如图，可首先从中点c开始查起，用随身携带的工具检查，若发现ac段正常，则断定故障在bc段；再到bc段的中点d检查，若cd段正常，则故障在bd段；再到bd段的中点e检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50100 m之间，即可迅速找到故障所在探究四 易错辨析易错点因“二分法”精确度的理解不清致错【典型例题4】 用二分法求方程x250的一个非负近似解(精确度为0.1)错解：令f(x)x25，因为f(2.2)2.2250.160，f(2.4)2.4250.760，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，f(2.3)2.3250.290，因为f(2.2)f(2.3)0，所以x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 50，因为f(2.2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25)，同理可得x0(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，又f(2.225)0.049 4，f(2.237 5)0.006 4，且|0.006 4(0.049 4)|0.055 80.1，所以原方程的非负近似解可取为2.225.错因分析：本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度满足的关系式为|ab|，而本题误认为是|f(a)f(b)|.正解：由于f(2)10，f(3)40，故取区间2,3作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值2,32.51.252,2.52.250.062 52,2.252.1250.484 42.125,2.252.187 50.214 82.187 5,2.252.218 750.077 1根据上表计算知，区间2.187 5,2.25的长度是0.062 50.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.187 5