高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式目标导引素材 新人教A版选修4-5.doc_第1页
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一 二维形式的柯西不等式二 一般形式的柯西不等式一览众山小诱学导入材料：柯西不等式()2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的. 问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？ 导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向量形式|不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式()2有一个推广形式:(a1p+a2p+anp)(b1q+b2q+bnq)a1b1+a2b2+anbn(=1)（该不等式称为赫尔德（holder）不等式，当p=q=2时，即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景.温故知新 1.我们知道绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a的点到原点的距离.那么不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是什么呢？答：不等式|x-c|+|x-b|a的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于等于a的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为|b-c|（在c，b之间的点取到），因此，不等式的解取决于|b-c|与a的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b|a-c|+|c-b|，实际上只需要注意到a，b，c在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式.
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