高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法破题致胜复习检测 新人教A版选修2-1.doc

3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法复习指导考点一：空间向量的线性运算1. 加法：减法：数乘：当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量线性运算律加法交换律：加法结合律：分配律：，2.（1）向量定理两个空间向量的充要条件是存在唯一的实数x，使.（2）向量共面的条件（3）空间向量的分解定理（4）两个向量的夹角（5）异面直线（6）两个向量的数量积3.空间向量的坐标表示(1)单位正交基底建立空间直角坐标系，分别沿轴、轴、轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底单位向量都叫做坐标向量(2)空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组，使分别为向量在方向上的分向量，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标上式可简记作4空间向量平行和垂直的条件设则当3都不为0，； (2)04两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设则，设，则解题指导：空间向量解决立体几何问题的步骤：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义 例题1. 在边长是2的正方体abcda1b1c1d1中,e,f分别为ab,a1c的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求ef的长;(2)证明:ef平面aa1d1d;(3)证明:ef平面a1cd. 【答案】（1）（2）见解析（3）见解析例题2. 已知是空间单位向量,若空间向量满足,，对于任意则=_ =_,=_ 【答案】巩固练习1若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则（ ）a. b. / c. d. a、c都有可能2过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ）a. b. c. d. 3设点m是棱长为2的正方体的棱ad的中点，p是平面内一点，若面分别与面abcd和面所成的锐二面角相等，则长度的最小值是（ ）a. b. c. d. 14如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形，pa平面abc，pa=2ab，则下列结论正确的是（ ）a. pbad b. 平面pab平面pbcc. 直线bc平面pae d. 直线pd与平面abc所成的角为455如图，四棱锥中，底面是矩形， 平面，且，点是上一点，当二面角为时， （ ）a. b. c. d. 16在平行四边形abcd中，accb=0,ac=2,bc=1,若将其沿ac折成直二面角d-ac-b,则ac与bd所成的角的余弦值为（ ）a. 12 b. 22 c. 32 d. 337已知三点， ，则以为方向向量的直线与平面系是（ ）a. 垂直 b. 不垂直 c. 平行 d. 以上都有可能8已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（）a. b. c. d. 9如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， ， ，若、分别是棱， 上的点，且， ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 10在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中， ， ，点为棱的中点，点为上的点，且满足（），当二面角的余弦值为时，实数的值为（ ）a. 1 b. 2 c. d. 311已知矩形， ，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界）设二面角的大小为，直线， 与平面所成的角分别为则（ )a. b. c. d. 12正四棱柱中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面 的距离为 （ ）a. b. c. d. 13把边长为2的正方形abcd沿对角线bd折起，使得平面abd平面cbd，则异面直线ad,bc所成的角为 （ ）a. 120 b. 30 c. 90 d. 60二、解答题14如图，在三棱锥中， 两两互相垂直，点分别为棱的中点， 在棱上，且满足，已知， .（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.15如图，四棱锥，底面是边长为2的菱形， ，且平面.（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面的夹角为，试求线段的长.16如图，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一点（i）求证： （ii）若， 分别是， 的中点，求证： 平面（iii）若二面角的大小为，求线段的长参考答案与解析1a【解析】直线的一个方向向量，平面的一个法向量为且，即.所以.2b， ， ， ，设平面的一个法向量为， ，平面的一个法向量为，所求锐二面角为3a【解析】如图，过点 作 的平行线交 于点 、交 于点 ，连接 ，则 是平面 与平面 的交线， 是平面 与平面 的交线 ，交 于点 ，过点作 垂直 于点 ，则有与平面 垂直，所以， ，即角 是平面 与平面 的所成二面角的平面角，且 交 于点，过点 作 于点，同上有： ，且有 ，又因为 ，故 而 ，故 ， 长度的最小值 4d【解析】pa平面abc，adp是直线pd与平面abc所成的角.六边形abcdef是正六边形，ad=2ab，即tanadp=，直线pd与平面abc所成的角为455a又平面的一个法向量是且，解之得， 6b【解析】accb=0，ac=2,bc=1，如图accb，ac=cd=3，过点a作aecd，在rtcad和rtaec，sinacd=adcd=13=aeac，则ae=63，ce=233，在空间四边形中，直二面角d-ac-b，bcac，bccd，bc平面acd，以c点为原点，以cd为y轴，cb为x轴，过点c与ea平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，c（0，0，0），a63,233,0，b（0，0，1），d（0，3，0），ca=（63，233，0），bd=（0，3，-1），|ca|=2，bd=2，cabd=2，设ac与bd所成的角为，则cos=cabdcabd=222=227a【解析】由题意， ， ，所以以为方向向量的直线与平面垂直8b9d【解析】 以的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为且，所以,所以,则,所以异面直线与所成的角的余弦值为10a【解析】由题意知，过点在平面内作，则以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， ， ，设平面的法向量为，则，取平面法向量为，由二面角余弦值为，则，所以11d12a距离为13d【解析】过a作aobd，交bd于o，连结oc，则o是bd的中点，ocbd，以o为原点，oc为x轴，od为y轴，oa为z轴，建立空间直角坐标系，a(0,0,2)，b(0,-2,0)，c(2,0,0)， d(0,2,0)，ad=(0,2,-2)，bc=(2,2,0)，设异面直线ad、bc所成的角为，则cos=|adbc|ad|bc|=244=12，所以=60.所以异面直线ad、bc所成的角为6014（1）异面直线与所成角的余弦值为；（2）二面角的正弦值为；【解析】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.因此异面直线与所成角的余弦值为.（2）平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，又，则即不妨取，则，所以为平面的一个法向量，从而,设二面角的大小为，则.因为，所以.因此二面角的正弦值为.15（1）见解析；（2）线段的长为.设 所以设平面的法向量为, 得，令，则 平面的法向量可取， 由题， ，解得，所以线段的长为 16（i