高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1.doc

2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点f1，f2上，把笔尖放在点m处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|mf1|mf2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|mf2|mf1|常数，可得到另一条曲线.思考2已知点p(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点p的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.答案(1)|表示点p(x，y)到两定点f1(5，0)、f2(5，0)的距离之差的绝对值，|f1f2|10，|pf1|pf2|6|f1f2|，故点p的轨迹是双曲线.(2)表示点p(x，y)到两定点f1(4，0)、f2(4，0)的距离之差，|f1f2|8，|pf1|pf2|60，b0)，点a，b均在双曲线的右支上，线段ab经过双曲线的右焦点f2，|ab|m，f1为双曲线的左焦点，则abf1的周长为_.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是f1、f2，若双曲线上一点p使得f1pf260，则f1pf2的面积为_.答案(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a.又|af2|bf2|ab|，所以abf1的周长为|af1|bf1|ab|4a2|ab|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，|pf1|pf2|sinf1pf26416.引申探究本例(2)中若f1pf290，其他条件不变，求f1pf2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a6，所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36.在rtf1pf2中，由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)2100.将代入得|pf1|pf2|32，所以|pf1|pf2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|，|pf2|，|f1f2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|pf1|pf2|的值；利用公式|pf1|pf2|sinf1pf2求得面积.(2)方法二：利用公式|f1f2|yp|(yp为p点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|pf1|pf2|2a的变形使用，特别是与|pf1|2|pf2|2，|pf1|pf2|间的关系.跟踪训练1已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左，右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cos f1pf2等于()a. b. c. d.答案c解析由双曲线的定义得|pf1|pf2|2，又|pf1|2|pf2|，|pf2|2，|pf1|4，|f1f2|4，在f1pf2中由余弦定理：cos f1pf2.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知在abc中，三边长分别为a，b，c，b(1，0)，c(1，0)，求满足sin csin bsin a的顶点a的轨迹.解如图所示，sin csin bsin a，根据正弦定理，得cba21，即|ab|ac|1|bc|.点a的轨迹符合双曲线的定义.点a的轨迹是以b，c为焦点的双曲线的右支(不包括点a在bc上的情况).反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.跟踪训练2已知动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1(x) b.1c.1 d.1答案a解析设动圆m的半径为r，则由已知得|mc1|r，|mc2|r，所以|mc1|mc2|2.又c1(4，0)，c2(4，0)，所以|c1c2|8，所以20，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625).因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点m(0，12)，m(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).因为点p(3，)，q(，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为ax2by21(ab0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).点p(4，2)和点q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为f1(0，3)，f2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.类型三由双曲线标准方程求参数例4已知曲线1.(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标.解(1)当曲线为椭圆时，依题意得解得m0，解得0m16，即m的取值范围为(0，16).此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(4，0).反思与感悟(1)对于方程1，当mn0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程1，则当mn0时表示双曲线.且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，a216m，b29m，由c2a2b2，得2516m9m，故m1；当m0时，方程1可化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，a29m，b216m，由c2a2b2，得2516m9m，m1.故实数m的值为1或1.1.已知f1(3，3)，f2(3，3)，动点p满足|pf1|pf2|4，则p点的轨迹是()a.双曲线 b.双曲线的一支c.不存在 d.一条射线答案b解析因为|pf1|pf2|4，且41 b.m3 d.1m0得m1.5.与椭圆x25y25共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为_.答案y21解析椭圆方程x25y25可化为y21，故双曲线方程可设为1，将(，1)坐标代入1，即1(15)，解得2或3(舍去)，双曲线方程为y21.1.双曲线定义中|pf1|pf2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.40分钟课时作业一、选择题1.双曲线2x2y28的焦距是()a.2 b.2c.4 d.4答案c解析双曲线方程可化为1，a24，b28，c2a2b212，c2，则2c4.2.过点(1，1)且的双曲线的标准方程是()a.y21 b.x21c.x21 d.y21或x21答案d解析由于，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，代入(1，1)点，得a2.此时双曲线方程为y21.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为x21.3.若kr，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()a.3k2 b.k3c.k2 d.k2答案a解析由题意知，k30且k20，3k2.4.双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是()a.1 b.1c. d.答案b解析原方程可化为1，由焦点坐标是(0，3)可知c3，且焦点在y轴上，k0)与抛物线y216x的准线交于a，b两点，且|ab|4，则m的值是()a.116 b.80 c.52 d.20答案d解析由抛物线y216x可知其准线方程为x4.因为双曲线是轴对称图形，所以点a，b到x轴的距离均为2.不妨设点a(4，2).又点a在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程2x2y2m，得m20，故选d.6.已知双曲线x21的焦点为f1，f2，点m在双曲线上，且0，则点m到x轴的距离为()a. b.c. d.答案b解析设|m，|n.由得mn4.由mn|f1f2|d(d为点m到x轴的距离)，解得d.7.若椭圆1(mn0)和双曲线1(s，t0)有相同的焦点f1和f2，而p是这两条曲线的一个交点，则|pf1|pf2|的值是()a.ms b.(ms)c.m2s2 d.答案a解析如图所示，设|pf1|x，|pf2|y，则4xy4(ms).xyms.二、填空题8.已知动圆m过定点b(4，0)，且和定圆(x4)2y216相切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案1解析设动圆m的半径为r，依题意有|mb|r，另设a(4，0)，则有|ma|r4，即|ma|mb|4.亦即动圆圆心m到两定点a、b的距离之差的绝对值等于常数4，又40)，则由qf1qf2，得kqf1kqf21，1，c5.设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过(4，3)，1，又c2a2b225，a216，b29.双曲线的标准方程为1.10.已知双曲线1，直线l过其左焦点f1，交双曲线左支于a，b两点，且|ab|4，f2为双曲线的右焦点，abf2的周长为20，则m的值为_.答案9解析由双曲线定义|af2|af1|2，|bf2|bf1|2，可得|af2|bf2|4|af1|bf1|44，abf2的周长为|af2|bf2|ab|4820，m9.三、解答题11.已知a(7，0)，b(7，0)，c(2，12)，椭圆过a、b两点且以c为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程.解设椭圆的另一个焦点为p(x，y)，则由题意知|ac|ap|bc|bp|，|bp|ap|ac|bc|2|ab|14，点p的轨迹是以a，b为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c7，a1，b2c2a248.所求的轨迹方程为x21(x1).12.已知方程kx2y24，其中kr，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.解(1)当k0时，方程变为y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程变为x2y24表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程变为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程变为1，表示焦点在y轴上的椭圆.13.已知抛物线y22px(p0)的焦点为双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且两条曲线都经过点m(2，4).(1)求这两条曲线的标准方程；(2)已知点p在抛物线