高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单性质（1）导学案 北师大版选修1-1.doc

2.1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆c1、c2的标准方程：c1：1，c2：1.思考1怎样求c1、c2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？答案对于方程c1：令x0，得y4，即椭圆与y轴的交点为(0，4)与(0，4)；令y0，得x5，即椭圆与x轴的交点为(5，0)与(5，0).同理得c2与y轴的交点为(0，5)与(0，5)，与x轴的交点为(4，0)与(4，0).思考2椭圆具有对称性吗？答案有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形.思考3椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？答案c1：5x5，4y4；c2：4x4，5y5.梳理标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点f1(c，0)，f2(c，0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2c(c)|f1f2|2c(c)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a，0)，(0，b)(0，a)，(b，0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案如图所示，在rtbf2o中，cosbf2o，记e，则0e0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.解椭圆方程化为标准形式为1，且e.(1)当0m4时，长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为f1(0，)，f2(0，)，顶点坐标为a1(0，)，a2(0，)，b1(2，0)，b2(2，0).类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设f1，f2分别是椭圆e：1 (ab0)的左，右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，|af1|3|bf1|.(1)若|ab|4，abf2的周长为16，求|af2|；(2)若cosaf2b，求椭圆e的离心率.解(1)由|af1|3|f1b|，|ab|4，得|af1|3，|f1b|1.因为abf2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|af1|af2|2a8.故|af2|2a|af1|835.(2)设|f1b|k，则k0，且|af1|3k，|ab|4k.由椭圆定义可得|af2|2a3k，|bf2|2ak.在abf2中，由余弦定理可得|ab|2|af2|2|bf2|22|af2|bf2|cosaf2b，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|af2|3k|af1|，|bf2|5k.因此|bf2|2|f2a|2|ab|2，可得f1af2a，故af1f2为等腰直角三角形.从而ca，所以椭圆e的离心率e.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e 求解.跟踪训练2椭圆1(ab0)的两焦点为f1，f2，以f1f2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.答案1解析方法一如图，df1f2为正三角形，n为df2的中点，f1nf2n，|nf2|c，|nf1|c，则由椭圆的定义可知|nf1|nf2|2a，cc2a，e1.方法二注意到焦点三角形nf1f2中 ，nf1f230，nf2f160，f1nf290，则由离心率的三角形式，可得e1.命题角度2利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆c：1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率等于_.答案解析直线ab：xc，代入1，得y，a(c，)，b(c，).，直线bf1：y0(xc)，令x0，则y，d(0，)，kad.由于adbf1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点m，使得f1mf290(f1，f2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是_.答案，1)解析椭圆1(ab0)，byb.由题意知，以f1f2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0e1，所以e的取值范围是，1).反思与感悟若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.跟踪训练3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_.答案解析由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去).类型三利用椭圆的简单性质求方程例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为(0，)，该点与最近的焦点的距离为；(2)已知椭圆的离心率为e，短轴长为8.解(1)由题意知a，ac，则c.所以b2a2c25，所以所求椭圆的方程为1.(2)由e，得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以椭圆的标准方程为1或1.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练4椭圆过点(3，0)，离心率e，求椭圆的标准方程.解椭圆过点(3，0)，点(3，0)为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在x轴上时，(3，0)为右顶点，则a3，e，ca3，b2a2c232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3，0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为()a.(13，0) b.(0，10)c.(0，13) d.(0，)答案d解析由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，).2.如图，已知直线l：x2y20过椭圆的左焦点f1和一个顶点b，则椭圆的离心率为() a. b.c. d.答案d解析x2y20，yx1，而，即 ，.3.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是()a.1 b.x21c.y21 d.1答案b解析由已知c，b1，故椭圆的方程为x21.4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的取值范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，42.5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a12，从而b2a2c2128，椭圆的标准方程为1.(2)由已知得从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.40分钟课时作业一、选择题1.已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()a.a225，b216b.a29，b225c.a225，b216或a29，b225d.a225，b29答案d2.椭圆c1：1与椭圆c2：x21在扁圆程度上()a.c1较扁b.c2较扁c.c1与c2的扁圆程度一样d.不能确定答案b解析c1的离心率e1，c2的离心率e2，且e1b0)的左、右焦点为f1、f2，离心率为，过f2的直线l交c于a，b两点.若af1b的周长为4，则c的方程为()a.1 b.y21c.1 d.1答案a解析由e得.af1b的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a.代入得c1，b2a2c22，c的方程为1.6.在abc中，|ab|bc|，cos b.若以a，b为焦点的椭圆经过点c，则该椭圆的离心率e等于()a. b.c. d.答案c解析设|ab|x0，则|bc|x，|ac|2|ab|2|bc|22|ab|bc|cos bx2x22x2()x2，|ac|x，由条件知，|ac|bc|2a，|ab|2c，xx2a，x2c，e.7.设ab是椭圆1(ab0)的长轴，若把线段ab分为100等份，过每个分点作ab的垂线，分别交椭圆的上半部分于点p1，p2，p99，f1为椭圆的左焦点，则|f1a|f1p1|f1p2|f1p99|f1b|的值是()a.98a b.99ac.100a d.101a答案d解析由椭圆的定义及其对称性可知，|f1p1|f1p99|f1p2|f1p98|f1p49|f1p51|f1a|f1b|2a，|f1p50|a，502a|f1p50|101a.二、填空题8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围是_.答案(2，4解析e ，0 ，得1a2，2b0)的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，若baobfo90，则椭圆的离心率是_.答案解析baobfo90，baofbo，tan baotan fbo，即，得b2ac，a2c2ac，即e2e10，0eb0)的左、右焦点，a是椭圆上位于第一象限内的一点，若0，椭圆的离心率等于，aof2的面积为2，求椭圆的方程.解如图，0，af2f1f2.椭圆的离心率e，b2a2.设a(x，y)(x0，y0)，由af2f1f2知xc，a(c，y)代入椭圆方程得1，y.aof2的面积为2，cy2.即c2.，b28，a22b216，椭圆方程为1.13.设椭圆方程为1(ab0)，f1，f2分别为椭圆的左，右焦点，a为椭圆的上顶点，直线af2交椭圆于另一点b