高中数学 第二章 函数本章概览素材 新人教B版必修1.doc

第二章函数知识建构专题应用专题一函数图象的应用函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性的原则应用1某地一天内的气温q(单位：)与时刻t(单位：h)之间的关系如右图所示，令c(t)表示时间段0，t内的温差(即时间段0，t内最高温度与最低温度的差)c(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是()应用2求函数y|x2|x2|的最小值提示：思路一：画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到2两点的距离差的最小值专题二函数性质中的含参数类问题研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查，多数情况下都含有参数，这就需要大家合理地对参数进行分类讨论及界定参数的性质应用1判断f(x)|xa|xa|(ar)的奇偶性提示：要注意字母a对函数性质的影响，即对a进行分类讨论应用2已知函数f(x)x(xa)，xa,1，(1)若函数f(x)在区间a,1上是单调函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间a,1上的最大值g(a)提示：(1)对称轴决定着二次函数的单调性；(2)对对称轴进行讨论，并结合所给的区间求解专题三函数与方程的思想在解题中的应用所谓函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，剔除问题中的非数学因素，抽象其数学特征，用函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，运用函数的性质使问题得到解决的思想这种思想方法重在对具体问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展的角度拓宽解题思路与函数思想相联系的就是方程的思想，所谓方程的思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题得到解决所设的未知数，沟通了变量之间的联系方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁事实上，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系应用1设函数求函数的零点提示：把看成一个整体函数，求函数的零点即求的实数根应用2设函数f(x)ax2a1(a0)，在1x1上f(x)存在一个零点，求实数a的取值范围提示：先利用零点存在性定理转化为f(1)f(1)0，再结合函数的图象解不等式即可专题四有关抽象函数问题抽象函数是中学数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开它常以函数方程的形式出现，常见的题型是求某些特殊值，这类抽象函数问题一般已知条件会给出定义域、某些性质及运算式其解法常用“赋值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化应用1定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围提示：应用函数的奇偶性，将变量1m和m转化到同一个单调区间上，利用函数的单调性求解应用2已知f(x)是定义在r上的不恒为0的函数，且对于任意的a，br，满足f(ab)af(b)bf(a)(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论提示：题目中给出的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值，可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断应用3(1)定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(4x)，且f(2x)f(x2)0，求f(2 016)的值；(2)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2，求f(x)在2,1上的值域提示：(1)可通过巧妙地以tx2赋值，由f(t)f(t)0，得f(x)为奇函数；(2)通过当x0时，f(x)0，判断函数的单调性，再通过巧妙地以yx赋值，则f(0)f(x)f(x)，进而对xy0赋值得f(0)的值，从而判断出f(x)的奇偶性，由此求解真题放送1(2011安徽高考)设f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()a3 b1c1 d32(2011天津高考)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xr.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()a(1,1(2，)b(2，1(1,2c(，2)(1,2d2，13(2010课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()ax|x2，或x4bx|x0，或x4cx|x0，或x6dx|x2，或x24(2010江西高考改编)函数yt2t1且t1,1的值域为()a1,1 bc d5(2010广东高考改编)若函数f(x)(x)(x)与g(x)(x)(x)的定义域均为r，则()af(x)与g(x)均为偶函数bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数cf(x)与g(x)均为奇函数df(x)为奇函数，g(x)为偶函数6(2010广东高考)函数f(x)的定义域是_7(2010陕西高考改编)已知函数f(x)若ff(0)4a，则实数a等于_8(2010重庆高考)已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yr)，则f(2 010)_.答案：专题应用专题一应用1：d由题图知q与t之间的关系的图象过点(0，2)，(4，4)，(8,0)，(24，12)，在t0时，c(t)0；t4时，c(t)2；t8时，c(t)4；t24时，c(t)16.则c(t)与t的函数关系的图象过点(0,0)，(4,2)，(8,4)，(24,16)可知选项d正确应用2：解：解法一：y|x2|x2|其图象如图所示由图象，得函数的最小值是4.解法二：函数的解析式y|x2|x2|的几何意义是：p是数轴上任意一点，函数y的值是点p到2,2的对应点a，b的距离的差，即y|pa|pb|，如下图所示观察数轴可得，|ab|pa|pb|ab|，所以函数的最小值为4.专题二应用1：解：函数的定义域为(，)，关于原点对称(1)当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|(|xa|xa|)f(x)(2)当a0时，函数f(x)|xa|xa|变为f(x)|x|x|0，f(x)f(x)0，且f(x)f(x)0.综上，当ar且a0时，函数f(x)为奇函数；当a0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数应用2：解：(1)f(x)x(xa)x2ax，xa,1，对称轴为x.函数f(x)在区间a,1上是单调函数，故a，即a0.故0a1.即a的取值范围是0,1)(2)由已知，a1.当a，即a0时，g(a)f(a)0，当a1，即a0时，g(a)f.综上，g(a)专题三应用1：解：当x1时，令f(x)2x20，解得x；当x1时，令f(x)x22x0，解得x或.x1，x舍去x.函数f(x)的零点是或.应用2：解：函数f(x)在1x1上存在一个零点，f(1)f(1)0，即(a2a1)(a2a1)0，即(a1)(3a1)0.令g(a)(a1)(3a1)0，得函数g(a)的两个零点是a11，a2.作出g(a)的图象如下图所示由图象可知，g(a)0时，可得a的取值范围是1a.专题四应用1：解：函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m的取值范围是.应用2：解：(1)令ab0，代入得f(0)0f(0)0f(0)，则f(0)0.令ab1，代入得f(1)1f(1)1f(1)，则f(1)0.(2)f(x)是奇函数证明如下：由f(1)f(1)2f(1)f(1)，得f(1)0.令a1，bx，则f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x)又f(x)的定义域为r，关于原点对称，f(x)为奇函数应用3：解：(1)由f(2x)f(x2)0，以tx2代入，有f(t)f(t)0，f(x)为奇函数，则有f(0)0.又由f(x4)f4(x4)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)f(2 016)f(2 008)f(2 000)f(0)0.(2)任取x1，x2r，且x1x2，则x2x10.由条件当x0时，f(x)0，知f(x2x1)0.又f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)f(x1)，f(x)为增函数令yx，则f(0)f(x)f(x)又令xy0，得f(0)0.f(x)f(x)故f(x)为奇函数f(1)f(1)2，f(2)2f(1)4.f(x)在2,1上的值域为4,2真题放送1af(x)是定义在r上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.2b由题意，得f(x)(x22)(x1)即f(x)在同一坐标系内画出函数yf(x)与yc的大致图象，如图所示，结合图象可知，当c(2，1(1,2时，两个函数的图象有两个不同交点，从而方程f(x)c0有两个不同的根，也就是yf(x)c与x轴有两个不同交点3bf(x2)0等价于f(|x2|)0f(2)又f(x)x38(x0)为增函数，|x2|2.解得x4或x0.4cyt2t1(t)2，t1,1，y.5b由f(x)(x)(x)，得f(x)(x)(x)f(x)，所以f(x)为偶函数由g(x)(