高中数学 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性同步测控 新人教B版必修1.doc

2.1.3 函数的单调性同步测控我夯基,我达标1.函数y=3x+2的单调增区间是( )a.(-, b., c.,+) d.(-,+)解析：对于a0的一次函数,它在定义域范围内为增函数.答案：d2.关于函数y=x2-2x+10的单调性的表述正确的是( )a.在(-,+)上递增 b.在(-,1上递增c.在(-,1)上递减 d.在1,+)上递减解析：对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),对称轴为x=,当a0时,在区间(-,上是单调递减函数,在区间,+)上是单调递增函数.简称为“a0,左减右增”;当a0时,在区间(-,上是单调递增函数,在区间,+)上是单调递减函数.简称为“a0时,在区间(-,0)上是单调递减函数,在区间(0,+)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k0,还是k0 d.当k0时,函数在(-,+)上增加解析：根据一次函数的单调情况,它与x的系数k的符号有关,当k0时,它在(-,+)上是单调递增函数;当k0,左减右增,所给区间为其单调增区间的一个子区间,即1.所以a-2.答案：a-26.已知函数y=在(0,+)上单调增加,则实数k的取值范围是_.解析：反比例函数的单调区间取决于该函数的系数k的符号.当k0时,在区间(-,0)上是单调递增函数,在区间(0,+)上也是单调递增函数.所以该函数的系数2k-10.答案：k7.求函数f(x)=x+的单调区间.分析：按照定义去判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.解：设x1、x2(0,1,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2).0x1x21,x1-x20,x1x2-10.f(x1)-f(x2)0,即f(x)在(0,1上是减函数,同理可证f(x)在1,+)及(-,-1上是增函数,f(x)在-1,0)上是减函数.我综合,我发展8.函数f(x)是0,+)上的单调递减函数,f(x)0且f(2)=1,求函数f(x)=f(x)+在0,2上的单调性.分析：函数f(x)没有给出解析式,因此对f(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号.解：任取0x1x22.f(x1)-f(x2)=f(x1)+-f(x2)=f(x1)-f(x2)+=f(x1)-f(x2)1.0x1f(x2)f(2)=1.f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2)1,0.f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).f(x)是0,2上的单调递减函数.9.已知f(x)是定义在-1,1上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n-1,1,m+n0,0.(1)用定义证明f(x)在-1,1上是增函数;(2)若f(x)t2-2at+1对所有x-1,1,a-1,1恒成立,求实数t的范围.分析：本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键.(1)证明:0说明f(m)+f(n)与m+n同号,如果m+n0,则f(m)+f(n)0,也即m-n时有f(m)-f(n)=f(-n);如果m+n0,则f(m)+f(n)0,也即m-n时有f(m)-n就有f(m)f(-n),根据m、n的任意性知函数在-1,1上是增函数.(2)解：f(x)在-1,1上是增函数,所以f(x)f(1)=1,显然t=0时f(x)1成立;t0时,f(x)t2-2at+1对所有x-1,1,a-1,1恒成立,即转化为1t2-2at+1对所有a-1,1恒成立,即转化为0t2-2at对所有a-1,1恒成立,所以只要即可,解得t-2或t2.所以t-2或t=0或t2.10.设f(x)=x2+1,g(x)=ff(x),f(x)=g(x)-f(x),问是否存在实数,使f(x)在区间(-,)上是减函数且在区间(,0)上是增函数？分析：这是一个存在性问题,我们处理这种题型时,应当首先假设所求参数存在.解：f(x)=x2+1,g(x)=ff(x),f(x)=g(x)-f(x),由f(x)=x2+1,g(x)=ff(x),得g(x)=(x2+1)2+1,f(x)=g(x)-f(x)=x4+(2-)x2+2-.不妨设存在实数的值,使f(x)满足题设,则任取x1x2-x20,x12x22,f(x1)-f(x2)=(x12-x22)(x12+x22+2-).(1)当x1、x2(-,)时,f(x)单调递减,f(x1)f(x2).x12+x22+2-0,而x12+x22+=1,所以只需3.(2)当x1、x2(,0)时,f(x)单调递增,f(x1)f(x2).x12+x22+2-0,而x12+x221,所以只需3.综合(1)(2)知,当=3时,f(x)符合题意.11.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图2-1-15(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2-1-15(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式q=g(t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？图2-1-15(注:市场售价和种植成本的单位:元/102 kg,时间单位:天)分析：本题主要考查由一次、二次函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.(1)由函数的图象,可知函数p=f(t)是分段函数,并且每一段上均是一次函数,函数q=g(t)是二次函数,故用待定系数法求函数关系式;(2)纯收益是上市时间的函数,这个函数也是分段函数,其最值是在每段上的最大值中的最大值.解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t-150)2+100,0t300.(2)设西红柿上市t天后的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t).h(t)=当0t200时,配方整理得h(t)=(t-50)2+100,所以,当t=50时,h(t)取得区间0,200上的最大值100;当20087.5,可知h(t)在区间0,300上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.我创新,我超越12.如图2-1-16,正方形abcd的顶点图2-1-16a(0,),b(,0),顶点c、d位于第一象限.直线l:x=t(0t2)将正方形abcd分成两部分,记位于直线l左侧部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是( )图2-1-17解析：判断函数s=f(t)的图象可以用“观察法”,直线l在运动到点b之前,左侧的面积增大的速度是越来越快,而过了点b之后,左侧的面积增大的速度是越来越慢.而速度的快慢反映在图象上就是陡与缓.当然也可以根据题意求出函数解析式,用描点法画出函数图象.答案：c13.设0x1,则函数y=+的最小值是_.解析：y=,当0x1时,x(1-x)=-(x)2+,y4.答案：414.设f(x)是定义在0,1上的函数,若存在x*(0,1),使得f(x)在0,x*上单调递增,在x*,1上单调递减,则称f(x)为0,1上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的0,1上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).求证:对任意的x1、x2(0,1),x1x2,若f(x1)f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)f(x2),则(x1,1)为含峰区间.分析：因为f(x)为0,1上的单峰函数,故含峰区间内必含有峰点x*,若不是含峰区间,则必然单调,而单调性便于研究自变量大小与函数值大小的相关性,因此本题可采用反证法证明.证明:设x*为f(x)的峰点,则由单峰函数定义,可知f(x)在0,x*上单调递增,