高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用课时提升作业1 新人教A版选修1-1.doc

椭圆方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆c：x225+y236=1，则直线l与椭圆c的公共点的个数为()a.1b.1或2c.2d.0【解析】选c.因为直线过定点(3，-1)且3225+(-1)2361，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2.点a(a，1)在椭圆x24+y22=1的内部，则a的取值范围是()a.-2a2b.a2c.-2a2d.-1a1【解析】选a.由题意知a24+121，解得-2ab0)，则点p在椭圆外x02a2+y02b21；点p在椭圆上x02a2+y02b2=1；点p在椭圆内x02a2+y02b2b0)的左、右焦点分别为f1，f2，右顶点为a，上顶点为b，若椭圆c的中心到直线ab的距离为66|f1f2|，则椭圆c的离心率e=()a.22b.32c.23d.33【解析】选a.设椭圆c的焦距为2c(cb0)中心的一条弦，m是椭圆上任意一点，且am，bm与两坐标轴均不平行，kam，kbm分别表示直线am，bm的斜率，则kamkbm=()a.-c2a2b.-b2a2c.-c2b2d.-a2b2【解析】选b.设a(x1，y1)，m(x0，y0)，则b(-x1，-y1)，kamkbm=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=-b2a2.【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取a(a，0)，b(-a，0)，m(0，b)，可得kamkbm=-b2a2.【补偿训练】(2015衡水高二检测)如果ab是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦，o为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，m为ab的中点，则kabkom的值为()a.e-1b.1-ec.e2-1d.1-e2【解析】选c.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，中点m(x0，y0)，则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，两式作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2所以kabkom=y2-y1x2-x1y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.5.ab为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中心的弦，f1(c，0)为椭圆的右焦点，则af1b面积的最大值是()a.b2b.abc.acd.bc【解析】选d.如图，sabf1=saof1+sbof1=2saof1.又因为|of1|=c为定值，所以点a与(0，b)重合时，of1边上的高最大，此时saof1的面积最大为12bc.所以sabf1的最大值为bc.二、填空题(每小题5分，共15分)6.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为_.【解析】将椭圆与直线方程联立：4x2+5y2-20=0,y=2(x-1),解得交点a(0，-2)，b53,43.设右焦点为f，则soab=12|of|y1-y2|=121|43+2|=53.答案：537.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于m，n两点，原点o与线段mn的中点p连线的斜率为22，则mn的值是_.【解析】由y=1-x,mx2+ny2=1消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则mn的中点p的坐标为nm+n,mm+n.所以kop=mn=22.答案：228.(2015宁波高二检测)已知f1，f2是椭圆的两个焦点，满足mf1mf2=0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.【解析】由mf1mf2=0，得以f1f2为直径的圆在椭圆内，于是bc，于是a2-c2c2，所以0eb0)的一个顶点为a(2，0)，离心率为22.直线y=k(x-1)与椭圆c交于不同的两点m，n.(1)求椭圆c的方程.(2)当amn的面积为103时，求k的值.【解析】(1)由题意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以椭圆c的方程为x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.=24k2+160.设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-41+2k2，所以|mn|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.又因为点a(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k|1+k2，所以amn的面积为12|mn|d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103，解得k=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知椭圆c的方程为x216+y2m2=1(m0)，如果直线y=22x与椭圆的一个交点m在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点f，则m的值为()a.2b.22c.8d.23【解析】选b.根据已知条件c=16-m2，则点16-m2,2216-m2在椭圆x216+y2m2=1(m0)上，所以16-m216+16-m22m2=1，可得m=22.2.(2015福建高考)已知椭圆e：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x-4y=0交椭圆e于a，b两点.若|af|+|bf|=4，点m到直线l的距离不小于45，则椭圆e的离心率的取值范围是()a.0,32b.0,34c.32,1d.34,1【解析】选a.不妨设左焦点为f2，连接af2，bf2，由椭圆的对称性可知四边形afbf2的对角线互相平分，所以四边形afbf2为平行四边形，所以af+bf=bf2+bf=2a=4，所以a=2，设m(0，b)，所以d=45b45b1，所以e=1-b2a2=1-b241-14=32，又e(0，1)，所以e0,32.【补偿训练】过椭圆x24+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦mn的长为()a.85b.825c.835d.165【解题指南】求出过椭圆x24+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆x24+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦mn的长.【解析】选a.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，因为椭圆x24+y2=1右焦点坐标为(3，0)，所以过椭圆x24+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-3，代入椭圆x24+y2=1，可得x24+(x-3)2=1，即5x2-83x+8=0，所以x1+x2=835，x1x2=85，所以|mn|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=219225-16025=85.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015济南高二检测)已知对kr，直线y-kx-1=0与椭圆x25+y2m=1恒有公共点，则实数m的取值范围是_.【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即025+12m1，整理，得1m1，解得m1.又方程x25+y2m=1表示椭圆，所以m0且m5，综上m的取值范围为m1且m5.答案：m1且m54.(2015无锡高二检测)若倾斜角为4的直线交椭圆x24+y2=1于a，b两点，则线段ab的中点的轨迹方程是_.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，由0，得-5b5，故-455x455.答案：x+4y=0(-455x0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段ab的长度为|ab|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+1625(x1-x2)2=4125(x1+x2)2-4x1x2=412541=415.6.(2014陕西高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为f1(-c，0)，f2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-12x+m与椭圆交于a，b两点，与以f1f2为直径的圆交于c，d两点，且满足|ab|cd|=534，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦cd的长，再利用椭圆与直线相交得ab的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2，b=3，c=1，所以椭圆的方程为x24+y23=1.(2)由题设，以f1f2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=2|m|5.由d1得|m|52.(*)所以|cd|=21-d2=21-45m2=25