高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法同步训练 新人教B版必修1.doc

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法5分钟训练1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)0,可得其中一个零点x0_,第二次应计算_.以上横线上应填的内容为( )a.(0,0.5) f(0.25) b.(0,1) f(0.25)c.(0.5,1) f(0.75) d.(0,0.5) f(0.125)答案：a解析：f(0)0,函数f(x)的一个零点x0(0,0.5).第二次计算f()=f(0.25).2.用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是( )a.越大，零点的精确度越高 b.越大，零点的精确度越低c.重复计算次数就是 d.重复计算次数与无关答案：b解析：依“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低.3.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是( )a.0 b.1 c.2 d.3答案：d解析：考虑分解因式降次.f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),f(x)有三个零点.4.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内（如15秒）猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_（只写出一个正确答案）.答案：二分法(或综合法等)10分钟训练1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：c解析：只有函数的变号零点才能用二分法求.2.二次函数y=ax2+bx+c中,ac0,则函数的零点个数是( )a.1 b.2 c.0 d.无法确定答案：b解析：分析条件ac0,a是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0).ac=af(0)0,由此得解.c=f(0),ac=af(0)0,即a与f(0)异号,即函数必有两个零点.3.已知连续函数y=f(x),有f(a)f(b)0(a0,f(2)f(2.5)0,下一个有根区间是2,2.5.5.如果一个立方体的体积在数值上等于v,表面积在数值上等于s,且v=s+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)约为_.答案：6.05解析：设立方体的边长为x,则v=x3,s=6x2.v=s+1,x3=6x2+1.不妨设f(x)=x3-6x2-1,应用二分法得方程的根约为6.05.6.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函数f(x)在哪几个区间内有零点?为什么?解：由x、f(x)的对应值表,可得f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,又根据“如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”,可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.30分钟训练1.(创新题)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币( )a.3 b.4 c.5 d.6答案：b解析：可利用二分法的思想方法去解决.2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24),(0,12),(0,6),(0,3)内,则下列命题正确的是( )a.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 b.函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点c.函数f(x)在区间(3,24)内无零点 d.函数f(x)在区间(2,24)内无零点答案：c3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )a.a1 c.-1a1 d.0a1答案：b解析：令f(x)=2ax2-x-1,a=0时显然不适合，a0时，则有f(0)f(1)=-1(2a-2)1.4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )a.（0,1 b.（0,1） c.（-,1） d.（-,1答案：d解法一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=0，即m=0应符合题设，所以排除a、b.当m=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1,符合要求，排除c，故选d.解法二：直接法.f(0)=1，（1）当m0时，要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则00.故选d.5.(探究题)已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则函数f(x)：当x-1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点);当-1x0时,恰有一零点;当0x1时,恰有一零点.其中正确命题的个数为( )a.0 b.1 c.2 d.4答案：b解析：f(-2)=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990,即f(-2)f(-1)0,结合图象,知函数f(x)在(-1,0)上没有零点,不正确.又f(0.5)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650,即f(0.5)f(1)0,函数f(x)在(0.5,1)上必有一个零点,且f(0)f(0.5)0,结合图象，知函数f(x)在(1,+)上没有零点,不正确.6.定义在r上的偶函数y=f(x),当x0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)f(2)0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数是_.答案：2解析：f(1)f(2)0,在(1,2)上函数y=f(x)有零点.又y=f(x)在(0,+)上是单调增函数,函数y=f(x)在(0,+)上有且只有一个零点.由函数为偶函数可知,函数在(-,0)上也有一个零点.7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a,b)等分的次数至多是_.答案：108.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）.解：f(1)=-60,存在x1(1,2)，使f(x1)=0.用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标端点或中点函数值取区间f(1)=-60（1，2）x1=1.5f(1.5)=-2.6250（1.5，1.75）x3=1.625f(1.625)=-1.302 70（1.625，1.75）x4=1.687 5f(1.687 5)=-0.561 80（1.687 5，1.75）x5=1.718 75f(1.718 75)=-0.1770（1.718 75，1.734 375）最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，所求的正数零点为1.7.9.某方程有一无理根在区间d内,若用二分法求此根的近似值,那么:(1)区间d=(1,3)时,将d等分n次后,所得近似解可精确到多少?(2)一般情况,是否有必要尽可能多地将区间d等分?解：(1)设无理根为x0,将d等分n次后的长度为dn.包含x0的区间为(a,b),于是d1=1,d2=,d3=,d4=,dn=.所以|x0-a|dn=,即近似值可精确到.(2)由于随n的增大而不断地趋向于0,故对于事先给定的精确度,总有自然数n,使得.所以,只需将区间d等分n次就可以达到事先给定的精确度.所以,一般情况下,不需尽可能多地将区间d等分.10.设函数f(x)=-x2-3x-2.(1)若g(x)=2-f(x)2,求g(x)的解析式;(2)借助计算器或计算机,画出函数g(x)的图象;(3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1).解：(1)由题设有g(x)=2-f(x)2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如下图所示.(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点.取区间(-3,-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.因为g(-3)g(-2.5)0,所以x0(-3,-2.5).再取(-3,-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)0.28.因为g(-3)g(-2.75)0,所以x0(-3,-2.75).同理可得x0(-2.875,-2.75),x0(-