高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理学案 新人教B版必修4.doc

2.2.1平面向量基本定理基础知识基本能力1了解平面向量基本定理及其意义(重点、难点)2理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式(易错点)1会利用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示(重点、难点)2在向量之间的线性表示中，能灵活地选好基底进行表示(难点、易错点)3能正确地应用线段中点的向量表达式来解决与中线、中位线等相关的几何问题(重点)1平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式平面向量的基底唯一吗？答：不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底【自主测试11】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么()a对平面中任一向量a，使aa1e1a2e2的实数a1，a2有无数对b对实数a1，a2，a1e1a2e2不一定在平面内c空间任一向量a可以表示为aa1e1a2e2，这里a1，a2是实数d若实数a1，a2使a1e1a2e20，则a1a20答案：d【自主测试12】在四边形abcd中，设a，b，用基底a，b表示_.解析：ab.答案：ab2直线的向量参数方程式已知a，b是直线l上任意两点，o是l外一点，则对于直线l上任一点p，存在实数t，使关于基底，的分解式为(1t)t，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数当t时，p为线段ab的中点，则()这是线段ab的中点的向量表达式名师点拨上述的向量参数方程式与p，a，b三点共线的条件是完全一致的，学习了向量的正交分解后，可以进一步地认识它与解析几何中直线方程的联系【自主测试2】m为线段ab的中点，o为平面上任一点，xy，则有x_，y_.解析：由线段ab的中点的向量表达式，知xy.答案：正确理解平面向量基本定理剖析：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量(2)对给定的向量a，实数1，2存在且唯一实数1，2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合(5)这个定理体现了转化与化归思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决题型一 用基底表示向量【例题1】已知abc中，d为bc的中点，e，f为bc的三等分点，若a，b，用a，b表示，.解：由题意，得()a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.反思用基底表示向量主要有以下两种类型：(1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解；(2)若直接利用基底表示比较困难，则依据“正难则反”的原则，采用方程思想求解【例题2】如图，在abcd中，m，n分别为dc，bc的中点，已知c，d，试用c，d表示.分析：本题要求用c，d表示，所以可以将c，d看作基底，把和表示出来，再由得到.解：设a，b，则由m，n分别为dc，bc的中点，得b，a.在abn和adm中，解得即(2dc)，(2cd)所以，(2dc)(2cd)(dc)反思从解答本题的过程来看，策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用了a，b的代换；(2)直接用c，d表示，困难，反过来改用，表示c，d，然后将和看成是未知量，利用方程组的知识解得和 ，进一步求出.题型二 直线的向量参数方程式【例题3】如图，设一直线上三点a，b，p满足(1)，o是平面上任意一点，则()a bc d解析：解答本题可直接利用直线的向量参数方程式判断；或利用向量的加、减运算法则进行转化，作出判断解析一：p，a，b三点共线，一定存在实数t，使得(1t)t，则t满足(1t)t1，只有选项a：1符合，故选a解析二：由(1)，得()，故(1)答案：a反思本题采用了两种解题方法解法一是应用直线的向量参数方程式判断由直线的向量参数方程式得，若p在直线ab上(或p，a，b共线)，则一定存在实数t，使得(1t)t，注意(1t)t1；解法二直接利用向量减法的几何意义，构造向量方程，解出.互动探究设，不共线，p点在线段ab上，求证：，且1(，r)证明：p点在线段ab上，与共线t(tr)tt()(1t)t.令1t，t，则有，1(，r)1下列关于基底的说法正确的是()平面内的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式是唯一确定的a b c d答案：c2已知abcd的对角线的交点为o，下列各组向量中，可作为这个平行四边形所在的平面内所有向量的基底的是()与；与；与；与.a b c d解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底通过画图可得：与不共线；，则；与不共线；，则.于是仅可以构成平面内所有向量的基底答案：b3o为平面上任一点，xy，若a，b，c三点共线，则必有()axy1 bxy1cxy dx，y为任意实数解析：若a，b，c三点共线，则(1t)t，知xy1tt1.答案：a4已知向量，的终点a，b，c在一条直线上，且3，设p，q，r，则下列等式成立的是()arpq brp2qcrpq drq2p解析：rp，qr，又3，rp3(qr)，rpq.答案：a5已知e1，e2是两个不共线的向量，而ak2e1e2与b2e13e2是两个共线向量，则实数k_.解析：a与b共线，存在实数，使得ab，即k2e1e2(2e13e2)2e13e2，即解得k或2.答案：或26如图所示，在abcd中，a，b，h，m分别是ad，dc的中点，f