高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积学案 北师大版必修4.doc

2.5从力做的功到向量的数量积学习目标重点难点1在物理中功的概念的基础上，掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义、几何意义2体会平面向量的数量积与向量投影的关系3能运用平面向量数量积的5个性质及运算律解决涉及长度、角度、平行、垂直问题.重点：1.平面向量的数量积的定义及其几何意义；2运用数量积的5个性质及运算律解决涉及长度、角度、平行、垂直问题难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用疑点：平面向量的数量积是否满足消去律和结合律.1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，作a，b，则aob(0180)叫作向量a和向量b的_(2)范围：_.(3)规定：零向量与任意向量_预习交流1若向量a和b的夹角为，你能就a和b的关系完成下表吗？090180向量a和b的关系预习交流2在等边abc中，与的夹角是_，与的夹角是_2向量的数量积(或内积)(1)定义：_叫作向量a和b的数量积，记作ab，即_.(2)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影_的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影_的乘积(3)物理意义：力对物体做功，就是力f与其作用下物体的位移s的数量积_预习交流3若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn()a12 b12 c12 d123向量数量积的性质(1)aa|a|2；(2)若e1，e2是单位向量，则e1e2_；(3)若e是单位向量，则ea_；(4)ab_；(5)_；(6)cos _(|a|b|0)；(7)对任意两个向量a，b，有|ab|_|a|b|，当且仅当ab时_成立预习交流4(1)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b夹角的大小为_；(2)a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.4向量数量积的运算满足以下运算律给定向量a，b，c和实数，有(1)交换律：_.(2)分配律：_.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数，有(a)b_.预习交流5(1)abbcac，上述推理正确吗？为什么？(2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？答案：1(1)夹角(2)0，180(3)垂直预习交流1：同向垂直反向预习交流2：1201202(1)|a|b|cos ab|a|b|cos (2)|b|cos |a|cos (3)fs预习交流3：c解析：mn|m|n|cos 1354612.3(2)|e1|e2|cos cos (3)ae|a|cos (4)ab0(5)|a|(6)(7)等号预习交流4：(1)120(2)74(1)abba(2)a(bc)abac(3)(ab)a(b)预习交流5：(1)提示：若a，b，c为实数，当b0时，abbcac，但对于向量的数量积，该推理不正确，即abbcd/ac.由下图很容易看出，虽然abbc，但ac.(2)提示：对实数a，b，c而言，(ab)ca(bc)；但对向量a，b，c而言，(ab)ca(bc)未必成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)未必成立在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1向量数量积的定义及几何意义已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120.(1)求ab；(2)求a在b上的射影思路分析：已知向量a，b的模及其夹角，求ab及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角120”换成“ab”，求ab.(1)数量积的符号同夹角的关系：若ab0为锐角或零角；若ab0或a与b至少有一个为0；若ab0为钝角或平角(2)求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求ab.2平面向量数量积的运算若向量abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，求abbcca的值思路分析：先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算也可用整体处理法解决1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为45，则aaab_.2(2012吉林实验中学一模，13)已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)_.向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2|a|2；(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2.3求向量的模(1)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()a0 b2 c4 d8(2)已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|a2b|.思路分析：(1)要求|2ab|，利用|2ab|求解；(2)先求出ab的值，由于|ab|，|a2b|，利用数量积中的完全平方公式展开求解已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a(a2b)，求|3ab|，|a2b|.求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化4求向量的夹角问题已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：(1)a与b的夹角；(2)ab与ab的夹角的余弦值思路分析：(1)由(ab)和(ab)的数量积可得出|a|，|b|的关系；(2)计算ab和ab的模1若向量a，b满足|a|，|b|1，a(ab)1，则向量a，b的夹角的大小为_2已知非零向量a，b满足|a|b|ab|.求：(1)a与ab的夹角；(2)a与ab的夹角求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos ，一般要求两个整体ab，|a|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决5解决有关垂直问题已知ab，且|a|2，|b|1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值思路分析：由ab知，ab0.由a(t3)b与katb垂直知，a(t3)b(katb)0.解决本题可先通过向量运算将k表示出来，通过建立k与t的函数关系式，进而求出函数k的最小值已知a，b是两个非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，试求a与b的夹角.非零向量abab0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握答案：活动与探究1：解：(1)ab|a|b|cos 54cos 12010；(2)a在b上的射影为|a|cos .迁移与应用：解：(1)b在a上的射影为|b|cos 2；(2)ab，a与b的夹角0或180.当0时，ab|a|b|cos 020.当180时，ab|a|b|cos 18020.活动与探究2：解：方法一：由已知得|c|a|b|，cab，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，所以有abbcca3cos 04cos 18012cos 180341213.方法二：(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbcca13.迁移与应用：1.1解析：aaab111cos 451.20解析：b(2ab)2abb22|a|b|cos 120|b|22444216160.活动与探究3：(1)b解析：|2ab|2.(2)解：因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos 55cos ，所以|ab|5.|a2b|5.迁移与应用：解：a(a2b)，a(a2b)0，a22ab0，ab.|3ab|4.|a2b|.活动与探究4：解：(1)(ab)(ab)|a|2|b|2，又|a|1，|b|2，|b|.设a与b的夹角为，则cos ，45.a与b的夹角为45.(2)|ab|，|ab|.设ab与ab的夹角为，则cos .ab与ab的夹角的余弦值为.迁移与应用：1.135解析：设夹角为，a(ab)1，|a|2ab1，即21cos 1，cos ，a，b的夹角为135.2. 解：如下图所示，在平面内取一点o，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形oacb，使|=|，所以四边形oacb为菱形，oc平分aob，这时=a+b，=a-b.(1)由于|a|=|b|=|a+b|，即|=|=|，所以aoc=60，即a与a+b的夹角为60.(2)aoc=60，aob=120.又|=|，oab=30，即a与a-b的夹角为30.活动与探究5：解：ab，ab0.又a(t3)b与katb垂直，a(t3)b(katb)0.ka2tab(t3)(k)ab(t3)tb20，4k(t3)t0.k(t23t)2(t0)当t时，k取最小值.迁移与应用：解：由条件知由得46ab23b20，即2abb2，代入式得a2b2，|a|b|.cos .60.1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为150，则mn()a12 b12 c12 d122已知|a|4，|b|3，ab6，则a与b的夹角为()a150 b120 c60 d303(2012辽宁高考，理3)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()aab babc|a|b| dabab4若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|a3b|_.5在abc中，ab2，ac3，d是bc的中点，则_.答案：1c解析：mn|m|n|cos 15046cos 15012.2b解析：设a与b的夹角为，则cos ，120.3b解析：|a