高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义导学案 新人教A版必修4.doc

24.1平面向量数量积的物理背景及其含义1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义3掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题1平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，其中是a与b的夹角记法记作ab，即ab|a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为_投影_(|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时) (2)向量b在a上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos ，它的符号取决于角的范围(3)ab也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积其中a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的【做一做11】 若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则ab等于()a. b. c1 d2【做一做12】 |a|2，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()a2 b120c1 d由向量b的长度确定2运算律交换律ab_结合律(a)b(ab)a_分配律(ab)c_(1)已知实数a，b，c(b0)，则abbcac.但对于向量的数量积，该推理不正确，即abbcdac.(2)对于实数a，b，c有(ab)ca(bc)；但对于向量a，b，c，(ab)ca(bc)未必成立这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)未必成立【做一做2】 有下列各式：(a)b(ab)a(b)；ab|a|b|；(ab)cacbc；(ab)ca(bc)其中正确的个数为()a4 b3 c2 d13向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为.垂直ab_共线同向ab_aaa2|a|2|a|反向ab_绝对值|ab|_符号ab0_ab0_ab0_夹角公式cos (1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)2a22abb2；(3)a2b2(ab)(ab)【做一做31】 在rtabc中，a90，则_.【做一做32】 已知|a|7，则aa_.【做一做33】 已知|a|8，|b|1，ab8，则a与b的夹角_.答案：1|a|b|cos 0|a|cos |b|cos 【做一做11】 aab|a|b|cos 60.【做一做12】 c|a|cos 1202cos 1201.2ba(b)acbc【做一做2】 c正确3ab0|a|b|a|b|a|b|【做一做31】 0|cos a|cos 900.【做一做32】 49aa|a|27249.【做一做33】 0cos 1，又0，则0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成ab；大学里还要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若ab0，则a0或b0或ab；在向量的数乘中，若a0，则0或a0；在实数的乘法中，若ab0，则a0或b0.在向量的数量积中，abbcb0或ac或b(ac)；在向量的数乘中，ab(r) ab或0；在实数的乘法中，abbcac或b0.在向量的数量积中，(ab)ca(bc)；在向量的数乘中，(m)a(ma)(r，mr)；在实数的乘法中，有(ab)ca(bc)(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，ab的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积；在向量的数乘中，a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积题型一 求向量的数量积【例1】 已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(3ab)的值为_反思：已知向量a与b的夹角为，且|a|m，|b|n，求(xayb)(satb)，其中x，y，s，t，m，nr，且m0，n0，其步骤是：先求ab；化简(xayb)(satb)xs|a|2(xtys)abyt|b|2；将ab，|a|，|b|代入即可题型二 求向量的长度【例2】 若向量a，b满足|a|，|b|2，且(ab)a，则|ab|等于()a3 b2 c10 d.反思：已知不共线的向量a与b，求|xayb|(x，yr)时，其步骤是：求ab；求|xayb|2x2|a|22xyaby2|b|2；求|xayb|.题型三 求两向量的夹角【例3】 已知|a|1，|b|4，(ab)(a2b)29，求a与b的夹角.分析：求出a，b的数量积ab，代入夹角公式求得cos ，从而确定的值反思：求向量a与b的夹角的步骤：(1)计算ab，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos 计算cos ；(3)根据0，确定夹角的大小题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a，b不共线，且|2ab|a2b|，求证：(ab)(ab)分析：证明ab与ab垂直，转化为证明ab与ab的数量积为零反思：证明ab，通常转化为证明ab0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在abc中，c，a，b，且abbcca，试判断abc的形状分析：易知abc0，分别将a，b，c移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得ab，bc，ca，选取两个等式相减即可得到a，b，c中两个向量的长度之间的关系反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向答案：【例1】 8b(3ab)3ab|b|23|a|b|cos 120168.【例2】 d由于(ab)a，则(ab)a|a|2ab0，所以ab2.所以|ab|2|a|22ab|b|210，则|ab|.【例3】 解：(ab)(a2b)|a|2ab2|b|21ab3231ab，31ab29，ab2，cos .又0，.【例4】 证明：|2ab|a2b|，(2ab)2(a2b)2.4a24abb2a24ab4b2.a2b2.(ab)(ab)a2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，(ab)(ab)【例5】 解：在abc中，易知0，即abc0，因此acb，abc.从而两式相减可得b22abc22acc2b2，则2b22(abac)2c2.因为abcaac，所以2b22c2，即|b|c|.同理可得|a|b|，故|，即abc是等边三角形1abc中，0，则abc是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等边三角形2已知非零向量a，b，若a2b与a2b互相垂直，则等于()a. b4 c. d23设向量a，b均为单位向量，且(ab)21，则a与b的夹角为()a. b. c. d.4(2011山东青岛高三质检)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|3，则|2ab|_.5已知|a|10，|b|12，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)(3a)；(3)(3b2a)(4ab)答案：1c0，cos a0.a是钝角abc是钝角三角形2d因为a2b与a2b垂直，所以(a2b)(a2b)0，所以|a|24|b|20，即|a|24|b|2，所以|a|2|b|.3c(ab)2a22abb222ab