高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版必修4.doc

3.3三角函数的积化和差与和差化积基础知识基本能力1理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程(重点、难点)2能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明(重点)1了解和差化积公式和积化和差公式的适用条件，能初步运用公式进行和积互化(易混点、易错点)2了解三角变换在解决数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力(难点)1积化和差公式cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin()【自主测试11】函数ycos xcos的最小正周期是()a2 b c d解析：ycos xcoscoscoscoscos，函数的最小正周期为.答案：b【自主测试12】sin 37.5cos 7.5_.解析：sin 37.5cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).答案：2和差化积公式sin xsin y2sincos；sin xsin y2cossin；cos xcos y2coscos；cos xcos y2sinsin.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式【自主测试21】sin 105sin 15等于()a b c d解析：sin 105sin 152sincos2sin 60cos 45.答案：c【自主测试22】函数f(x)coscos的最小值为_解析：f(x)coscos2cos xcoscos x，f(x)min.答案：1和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系；三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值. 正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式往往这样就能发现解决三角函数问题的思路为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把cos 化为积的形式，可将看作cos，再化为积2教材中的“探索与研究”用向量运算证明和差化积公式如图所示，作单位圆，并任作两个向量(cos ，sin )，(cos ，sin )取的中点m，则m.连接pq，om，设它们相交于点n，则点n为线段pq的中点且onpq.xom和qom分别为，.探索三个向量，之间的关系，并用两种形式表达点n的坐标，以此导出和差化积公式cos cos 2coscos；sin sin 2sincos.剖析：如图所示，p(cos ，sin )，q(cos ，sin )，又m为的中点，则m.又n为om与pq的交点，则n必为pq的中点，noq.由n为线段pq的中点，则n点的坐标可以表示为.在rtonq中，|cosnoqcos.所以点n的横坐标x|cosmoxcoscos.点n的纵坐标y|sinmoxcossin.由，可得也就是cos cos 2coscos，sin sin 2sincos.题型一 求值问题【例题1】(1)求sin 20cos 70sin 10sin 50的值；(2)已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值分析：解答本题利用积化和差公式和和差化积公式，对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解解：(1)sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40sin 50sin 50.(2)cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由得tan，即tan.sin().题型二 化简问题【例题2】化简：4sin(60)sin sin(60)分析：观察(60)与(60)的和为特殊角，所以可用积化和差公式化简解：原式2sin cos 120cos(2)2sin sin 2sin cos 2sin (sin 3sin )sin 3.反思此题依然是直接考查公式应用的题，对于这种题，解题公式的选取是关键题型三 证明三角恒等式【例题3】在abc中，求证：sin2asin2bsin2c2sin asin bcos c分析：先用降幂公式，再利用和差化积公式证明：原式左边cos 2c(cos 2acos 2b)cos2ccos(ab) cos(ab)cos ccos(ab)cos(ab)2sin a sin bcos c右边故原式成立.题型四 恒等变换公式的综合应用【例题4】已知ab，求cos2acos2b的最值分析：将cos2acos2b利用降幂公式、积化和差公式与和差化积公式化为正弦函数形式或余弦函数形式解：原式(1cos 2a1cos 2b)(2cos 2acos 2b)22cos(ab)cos(ab)1cos(ab)cos(ab)1coscos(ab)1cos(ab)所以当cos(ab)1时，原式取最大值；当cos(ab)1时，原式取最小值.反思考查一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等问题，一般要化简为正弦函数或余弦函数形式，再进行求解题型五 易错辨析【例题5】化简：cos2cos2(60)cos2(60)错解：原式cos 2cos(1202)cos(1202)22cos 60cos(602)cos(1202)cos(602)cos(1202)错因分析：解题过程中由于没有发现602与1202是互补关系，从而没有消去cos(602)和cos(1202)这两个值，得出的结果并未化简彻底正解：原式cos 2cos(1202)cos(1202)2cos 60cos(602)cos(1202)cos(602)cos180(602).1函数f(x)sincos的最小正周期是()a b2c d答案：d2在abc中，若sin asin bcos2，则这个三角形必是()a直角三角形 b等腰三角形c等边三角形 d等腰直角三角形答案：b3有下列关系式：sin 5sin 32sin 8cos 2；cos 3cos 52sin 4sin ；sin 3sin 5cos 4cos ；sin 5cos 32sin 4cos ；sin xsin ycos(xy)cos(xy)其中正确等式的个数是()a0 b1 c2 d3解析：均不正确，正确答案：b4化简的结果为()atan btan 2xctan x dtan x解析：原式tan x.答案：d5sin 57sin 332cos 81sin 69_.答案：6函数ysi