高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量的坐标表示 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示优化训练 北师大版必修4.doc

2.4.1平面向量的坐标表示2.4.2平面向量线性运算的坐标表示5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )a. b.c. d.解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.答案：b2.已知平行四边形abcd的一个顶点坐标为a（-2，1），一组对边ab、cd的中点分别为m（3，0）、n（-1，-2），求平行四边形的各个顶点坐标.解：设其余三个顶点的坐标为b（x1，y1），c（x2，y2），d（x3，y3）.因为m是ab的中点，所以3=，0=.解得x1=8，y1=-1.设mn的中点为o（x0，y0），则x0=1，y0=-1，而o既是ac的中点，又是bd的中点，所以x0=，y0=，即1=.解得x2=4，y2=-3.同理解得x3=-6，y3=-1.所以b（8，-1），c（4，-3），d（-6，-1）.3.已知点o（0，0），a（1，2），b（4，5）及=+t.求：（1）t为何值时，p在x轴上？p在y轴上？p在第二象限?（2）四边形oabp能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解：（1）=+t=（1+3t，2+3t），若p在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-23；若p在y轴上，只需1+3t=0，所以t=；若p在第二象限，只需所以.（2）因为=（1，2），=（3-3t，3-3t），若oabp为平行四边形，则=.由于无解，故四边形oabp不能构成平行四边形.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知点a（，1），b（0，0），c（，0）.设bac的平分线ae与bc相交于e，那么有=,其中等于( )a.2 b. c.-3 d.解析：ae为bac的平分线，.=-2.=-=-2-=-3.答案：c2.平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3,1),b(-1,3)，若点c满足=+，其中，、r，且+=1,则点c的轨迹方程为_.解析：将点c所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点c的轨迹方程.答案：x+2y-5=03.（1）已知e1=（1，2），e2=（-2，3），a=（-1，2），试以e1、e2为基底，将a分解为1e1+2e2的形式.（2）已知点a（-1，2）、b（2，8）及，求c、d和的坐标.（3）abc的重心在原点，a（1，4），b（-3，-3），求c点的坐标.解：（1）由所以a=e1+e2.（2）因为=（1，2），所以c（0，4），=（1，2）.所以d（-2，0），=（-2，-4）.（3）设c点坐标为（x，y），则由所以c点坐标为（2，-1）.4.用坐标法证明+=0.证明：设a（a1，a2），b（b1，b2），c（c1，c2），则=（b1-a1，b2-a2），=（c1-b1，c2-b2），=（a1-c1，a2-c2）.+=（b1-a1，b2-a2）+（c1-b1，c2-b2）+（a1-c1，a2-c2）=（b1-a1+c1-b1+a1-c1，b2-a2+c2-b2+a2-c2）=（0，0）=0.+=0.5.如图2-4-1，已知平面上三点a、b、c的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点d的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-4-1解：（1）当平行四边形为abcd时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即d（2，2）.（2）当平行四边形为acdb时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x，4-y）.所以x=4，y=6，即d（4，6）.（3）当平行四边形为dacb时，因为=，所以（-2-x，1-y）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即d（-6，0）.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量a=（x+3，x2-3x-4）与相等，已知a（1，2）和b（3，2），则x的值为( )a.-1 b.-1或4 c.4 d.1或-4解析：因为已知a（1，2）和b（3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x的值.答案：a2.已知m（3，-2）、n（-5，-1），且=，则点p的坐标为( )a.（-8，1） b.（1，） c.（-1，） d.（8，-1）解析：根据=可以得到2=，再根据向量的坐标运算就可以得出点p的坐标.答案：c3.在abc中，已知a（2，3）、b（8，-4），g（2，-1）是中线ad上的一点，且|=2|，则点c的坐标为( )a.（-4，2） b.（-4，-2） c.（4，-2） d.（4，2）解析：设c点坐标为（x，y），由于g是abc的重心，则2=，x=-4.-1=，y=-2.答案：b4.已知a（-2，4）、b（3，-1）、c（-3，-4）且=3，=2，试求点m、n和的坐标.解：a（-2，4），b（3，-1），c（-3，-4），=（-2+3，4+4）=（1，8），=（3+3，-1+4）=（6，3）.于是=3=3（1，8）=（3，24），=2=2（6，3）=（12，6）.设m（x，y），则有=（x+3，y+4），即m点的坐标为（0，20），同理可求得n（9，2）.因此=（9-0，2-20）=（9，-18）.故所求的点m、n的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.5.如图2-4-2所示，已知abc中，a（7，8）、b（3，5）、c（4，3），m、n是ab、ac的中点，d是bc的中点，nm与ad交于f，求.图2-4-2解：a（7，8）、b（3，5）、c（4，3），=（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.又d是的中点，=（+）=（，-4）.又m、n分别为ab、ac的中点，f为ad的中点.=（，2）.6.已知点a（2，3）、b（5，4）、c（7，10），若=+（r），试求为何值时，点p在第一、三象限的角平分线上？点p在第三象限内？解：设点p的坐标为（x，y），则=（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3），+=（5，4）-（2，3）+（7，10）-（2，3）=（3，1）+（5，7）=（3，1）+（5，7）=（3+5，1+7）.=+，（x-2，y-3）=（3+5，1+7）.p点的坐标为（5+5，4+7）.（1）若点p在一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7，=.（2）若点p在第三象限内，则-1，即只要-1，点p就在第三象限内.7.已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系可用v=f（u）表示.（1）证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标；（3）求使f（c）=（3，5）成立的向量c.（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）.则f（mx1+nx2，my1+ny2）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2），又mf（a）=（my1， 2my1-mx1），nf（b）=（ny2，2ny2-nx2），所以mf（a）+nf（b）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2）.所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）.（2）解：f（a）=（1，1），f（b）=（0，-1）.（3）解：由所以c=（1，3）.8.设g为四边形abcd对角线中点连线的中点，o为平面内任意一点，证明=(+).证明：如图，任意四边形abcd的对角线ac的中点为e，bd中点为f，则=（+），=（+）.又g为ef的中点，则=（+），即=（+）+（+）=（+）.9.已知a(1,-2),b(2,1)，c(3,2)和d(-2,3),以、为一组基底来表示.解：ab=