高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学案 新人教B版选修2-1.doc

2.3.1双曲线的标准方程1理解双曲线的定义2掌握双曲线的标准方程的定义1双曲线的定义平面内与两个_f1，f2的_等于常数(_)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点的距离叫做双曲线的_在双曲线的定义中，(1)当常数等于|f1f2|时，动点的轨迹是以f1，f2为端点的两条射线(包括端点)(2)当常数大于|f1f2|时，动点的轨迹不存在(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段f1f2的垂直平分线(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支【做一做1】已知定点f1(3,0)，f2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点p的轨迹中，为双曲线的是()a|pf1|pf2|5b|pf1|pf2|6c|pf1|pf2|7d|pf1|2|pf2|262双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_焦点坐标_a，b，c的关系_(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程反之亦成立(2)在双曲线的标准方程中，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上【做一做21】双曲线1的焦距为()a3 b4 c3 d4【做一做22】若双曲线的焦点在x轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为_1椭圆与双曲线的区别剖析：椭圆双曲线2a2a因为ac0，所以令a2c2b2(b0)因为ca0，所以令c2a2b2(b0)1，1(ab0)1，1(a0，b0)2求双曲线方程的常用方法剖析：(1)待定系数法即先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论(2)定义法题型一 双曲线的定义及应用【例1】如图所示，已知定圆f1：x2y210x240，定圆f2：x2y210x90，动圆m与定圆f1，f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程分析：可利用双曲线的定义来求解反思：遇到动点到两定点的距离之差的问题时，应联想到能否用双曲线的定义来解，并要注意x的范围题型二 求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)，求双曲线的标准方程分析：可根据已知条件，设出双曲线方程，再把点的坐标代入即可反思：双曲线的标准方程有两种形式，即1，1(a0，b0)，方程1表示双曲线的充要条件是mn0.题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例3】在mng中，已知ng4，当动点m满足条件sin gsin nsin m时，求动点m的轨迹方程分析：条件给的是角的关系，可用正弦定理，化角的关系为边的关系，再考虑用定义求轨迹方程反思：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点m的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点，这种情况一般在求得方程的后面应给以说明，并把说明的内容加上括号题型四 易错题型【例4】已知双曲线4x29y2360，求它的焦点坐标错解：将双曲线方程化为标准方程1，a3，b2，c，双曲线的焦点坐标为(，0)，(，0)错因分析：这种解法是错误的原因在于：双曲线的焦点在x轴或y轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的反思：判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是1，方程左边是“x2”和“y2”项的差，若“y2”的系数为正，则焦点在y轴上；若“x2”的系数为正，则焦点在x轴上1已知f1(8,3)，f2(2,3)，动点p满足10，则点p的轨迹是()a双曲线 b双曲线的一支c直线 d一条射线2双曲线1的焦距是()a4 b2c10 d与m有关3双曲线1上一点p到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是()ap到左焦点的距离是8bp到左焦点的距离是15cp到左焦点的距离不确定d这样的点p不存在4已知方程1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是_5求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a4，c5，焦点在x轴上；(2)ab，经过点(3，1)答案：基础知识梳理1定点距离的差的绝对值小于|f1f2|且不等于零焦点焦距【做一做1】a因为|f1f2|6，所以与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值应小于6，故选a.21(a0，b0)1(a0，b0)f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)c2a2b2c2a2b2【做一做21】d由已知有c2a2b212，得c2，故双曲线的焦距为4.【做一做22】1设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知a2，则1，将点(4,3)代入得1，解得b23，故双曲线的标准方程为1.典型例题领悟【例1】解：圆f1：(x5)2y21，圆心f1(5,0)，半径r11.圆f2：(x5)2y242，圆心f2(5,0)，半径r24.设动圆m的半径为r，则有r1，r4，3.点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线左支，且a，c5.动圆圆心m的轨迹方程为x2y21.【例2】解：设双曲线方程为1(a0，b0)，将点(3，4)，分别代入方程得解得故所求双曲线的标准方程为1.【例3】解：以ng所在的直线为x轴，以线段ng的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系sin gsin nsin m，由正弦定理得：42.由双曲线的定义知，点m的轨迹是以n，g为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)2c4,2a2，c2，a1，b2c2a23.动点m的轨迹方程为x21(x1)【例4】正解：将双曲线方程化为标准方程1，可知焦点在y轴上，a2，b3，c2a2b213，c.双曲线的焦点坐标为f1(0，)，f2(0，)随堂练习巩固1d由双曲线的定义可得，f1，f2是两定点，10，满足条件10的点p的轨迹为一条射线2c由题意可知a2m216，b29m2，所以c2a2b2m2169m225，所以c5，所以2c10.3d选项a和选项c易判断是错误的，对选项b而言，若15，5，则20，而26，即有26，这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾，即这样的点p不存在4k2因为方程1表示焦点在y轴上的双曲线，所以所以k2.5分析：灵活应用双曲线方程，要注意讨论焦点的位置，不要漏解解：(1)因为a4，c5，所以b2c2a225169，又因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为1.(2)当焦点在x轴上时，可设双曲线方