高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示课堂导学案 北师大版必修4.doc

2.6平面向量数量积的坐标表示课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例1】 已知：a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0)求证：a+b与a-b互相垂直.思路分析：要证（a+b）(a-b),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识证法一：由已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),有a+b=(cos+cos,sin+sin),a-b=（cos-cos,sin-sin）,又(a+b)(a-b)=(cos+cos)(cos-cos)+(sin+sin)(sin-sin)=cos2-cos2+sin2-sin2=0,所以（a+b）(a-b).证法二：a=(cos,sin),b=(cos,sin),(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=1-1=0.(a+b)(a-b).友情提示 两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.各个击破类题演练 1已知a（1，2），b（2，3），c（-2，5），求证：abc是直角三角形证明:=（2-1，3-2）=（1，1）,=（-2-1，5-2）=（-3，3）,=1(-3)+13=0,即abacabc是直角三角形.变式提升 1已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.解析：设b=(x,y)为所求单位向量则x2+y2=1又abab=(4,2)(x,y)=4x+2y=04x+2y=0由得b=()或b=().2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例2】 已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2ab+|b|2，ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点o，作=a，=b，以oa、ob为邻边作平行四边形oacb.|a|=|b|，即|=|，oacb为菱形，oc平分aob，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即|=|=|.aob为正三角形，则aob=60，于是aoc=30，即a与a+b的夹角为30.友情提示 本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练 2已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则a（4，0），b（0，6），e（2，0），f（0，3）.=（-4，3），=（2，-6），|=5，|=，cosaob=.两中线所成钝角的余弦值为.变式提升 2设a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45，求实数t的值.解析:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a+tb)b=(4+2t,t-3)（2，1）=5t+5,|a+tb|=.由（a+tb）b=|a+tb|b|cos45,得5t+5=,即t2+2t-3=0,t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去.t=1.3.向量垂直的等价条件的应用【例3】 如右图，已知正方形abcd的顶点a、b的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点c的坐标是( )a.（2，7） b.（，）c.（3，6） d.（，）思路分析：欲求点c的坐标，可设点c为（x，y），然后利用条件建立x、y的方程组.注意到四边形abcd为正方形，所以，且|=|，可用它们建立x、y的方程组.解：设c点坐标为（x，y），则=（4，3），=（x-5，y-3）.四边形abcd为正方形，|=|.解得又c点在第一象限，舍去.答案：a友情提示 求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作bmx轴于点m，dnx轴于点n，易得abmdan，可得d点坐标为（-2，4），然后利用=+，易得c点坐标.类题演练 3如右图，已知abc中，a（2，-1），b（3，2），c（-3，-1），ad是bc边上的高，求及点d的坐标.解析：设d的坐标为（x,y）adbc,与共线.又=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x+3,y+1).d点坐标为（1，1），=（-1，2）.变式提升 3 以原点o和a（4，2）为2个顶点作等腰直角三角形oab，b=90,求b的坐标和ab的长.解析：如右图，设b的坐标为（x,y）,则=（x,y）,=(x-4,y-2).b=90,x(x-4)+y(y-2)=0, 即x2+y2=4x+2y.设的中点为c，则c