高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课堂导学案 北师大版必修4(1).doc

2.5 从力做的功到向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量的数量积【例1】 已知|a|=4,|b|=3,当ab,ab,a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积.思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a与b的夹角大小.解：当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角=0,ab=|a|b|cos=43cos0=12;若a与b反向，则a与b的夹角为=180,ab=|a|b|cos180=43(-1)=-12;当ab时，向量a与b的夹角为90，ab=|a|b|cos90=430=0;当a与b的夹角为60时，ab=|a|b|cos60=43=6.友情提示 若|a|b|是一个定值k，则当这两个向量的夹角从0变化到180时，两向量的数量积从k减到-k，其图象是从0到 的半个周期内的余弦函数图象.各个击破类题演练 1rtabc中，已知|=3，|=3，|=，求+的值.解析:a=c=45，=135，=135，+=+=3cos135+3cos135=-18.变式提升 1若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则ab+bc+ca=_.解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b, 故向量a与b同向，而向量c与它们反向. 所以有ab+bc+ca=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13.应填：-13.解法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),ab+bc+ca=-13.应填：-13.答案：-132.平面向量数量积的综合应用【例2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.思路分析：根据公式ab=|a|b|cos，得cos=，由此可求两向量的夹角.解：|m|=1,|n|=1,由夹角是60，得mn=.则有|a|=|2m+n|=;|b|=|2n-3m|=.所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2=,cos=.所以a、b的夹角为120.友情提示 应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角.类题演练 2若(a+b)(2a-b),(a-2b)(2a+b),试求a、b的夹角的余弦值.解析：由(a+b)(2a-b),(a-2b)(2a+b),有a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.由2a2+ab-b2=0,得ab=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2|b|2=-|b|2.cos=.a、b的夹角的余弦值为.变式提升 2已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？解析:若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0.a2-m2b2=0.|a|=5,|b|=12,a2=25,b2=144.25-144m2=0.m=.当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直.3.平面向量数量积的运算律【例3】 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120，求：（1）ab；（2）（a+b）2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)(a+3b);思路分析：本题主要考查数量积的定义及运算律.由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=(a+b)（a+b）=(a+b)a+(a+b)b=aa+ba+ab+bb b=a2+2ab+b2.解：(1)ab=|a|b|cos120=54(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48.友情提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（ab）2=a22ab+b2 (a+b)（a-b）=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.类题演练 3已知|a|=|b|=5,a,b=,求|a+b|a-b|.解析：因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,ab=|a|b|cosa,b=55cos=所以|a+b|=同样可求|a-b|=5.所以|a+b|a-b|=5=.变式提升 3 （1）若向量a与b夹角为30，且|a|=,|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_.解析：pq=(a+b)（a-b）=a2-b2=3-1=2,又|p