高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积知识导航学案 新人教B版必修4.doc

2.3 平面向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b(如图2-3-1所示)，作=a，=b，则aob称为a与b的夹角，记作a，b.图2-3-1(2)范围：0,，并且a，b=b，a.(3)当a，b=时，称向量a与b互相垂直，记作ab.规定零向量与任一向量垂直.(4)当a，b=0时，a与b同向；当a，b=时，a与b反向.2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如图2-3-2所示)，作oa=a，过点o、a分别作轴l的垂线，垂足分别为o1、a1，则向量o1a1在轴l上的坐标叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).a在轴l上的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，a的方向与轴l的正向所成的角为，则有al=|a|cos.图2-3-2(2)当为锐角时，al0；当为钝角时，al0；当=0时，al=|a|；当=时，al=-|a|.3.向量的数量积(内积)(1)定义：|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab=|a|b|cos.(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.(3)几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度a与b在a方向上的射影|b|cos的乘积，或b的长度b与a在b方向上的射影|a|cos的乘积.(4)坐标运算：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则ab=a1b1+a2b2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.4.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.(1)ea = ae =|a|cosa，e；(2)abab=0；(3)当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别的aa=|a|2或|a|=.(4)cosa，b=；(5)|ab|a|b|.5.向量数量积的运算律 交换律：ab=ba； 结合律：(a)b=(ab)=a(b)(r)； 分配律：(a+b)c=ac+bc.6.向量垂直的坐标表示 已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则aba1b1+a2b2=0(a1，a2)(-b2，b1).7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)(1)向量的长度：已知a=(a1，a2)，则a=.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.(2)两点间距离公式：如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|=.(3)夹角公式：已知a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则两个向量a、b的夹角为cosa，b=.知识导学 复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算；本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比. (1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.(2)从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成ab；考上大学后还要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“ ”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若ab=0，则a=0或b=0或a, b=；在向量的数乘中，若a=0，则=0或a=0；在实数的乘法中，若ab=0，则b=0.在向量的数量积中，ab=bcb=0或a=c或b，(a-c)=.在向量的数乘中，a=b(r)a=b或ab；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.在向量的数量积中：(ab)ca(bc)；在向量的数乘中，()a=(a)(r,mr)；在实数的乘法中，有(ab)c=a(bc).(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，ab的几何意义是a的长度a与b在a方向上的射影|b|cos的乘积；在向量的数乘中，a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是ab到数轴原点的距离等于a、b到数轴原点距离的积.2.为什么(ab)c=a(bc )不成立？剖析:难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义表示来分析；突破路径3：利用反证法，通过向量数量积的坐标表示来分析. 思路一：举反例. 如图2-3-3所示，设=a，=b，=c，且|=1，|=2，|=3，=，=，则，=.图2-3-3ab=|a|b|cosa，b=1，bc=|b|c|cosa，b=3.(ab)c=c，a(bc )=3a. 很明显c=3a不成立，(ab)c=a(bc )不成立. 再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5), 则(ab)c=1(-3)+24(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),a(bc )=(1,2)-36+4(-5)=(-38)(1,2)=(-38,-72).(ab)c=a(bc )不成立. 思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析. 由于向量的数量积是实数，则设ab=，bc=. 则(ab)c=c，a(bc )=a. 由于c，a是任意向量，则c=a不成立.(ab)c=a(bc )不成立. 思路三：下面用向量数量积的坐标表示来分析. 设a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，c=(x3, y3). 则ab=x1x2+y1y2,bc=x3x2+y3y2.(ab)c=(x1x2+y1y2)(x3, y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，a(bc)=(x3x2+y3y2)(x1, y1)=(x1x3x2+x1y2 y3, x2x3 y1+y1 y2y3). 假设(ab)c=a(bc)成立， 则有(x1x2x3+y1y2x3 ,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x3x2+x1y2 y3, x2x3 y1+y1 y2y3)，x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2 y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3 y1+y1 y2y3.y1y2x3=x1y2 y3，x1x2y3=x2x3 y1. y2(y1x3-x1 y3)=0，x2(x1 y3-x3 y1)=0.b是任意向量，x2和y2是任意实数.y1x3-x1y3=0.ac. 这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.假设不成立.(ab)c=a(bc )不成立.3.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？剖析:难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底或坐标系，转化为进行向量的有关运算. 例如：如图2-3-4所示，已知平行四边形abcd中，ab=3，ad=1，dab=，求对角线ac和bd的长.图2-3-4解：设=a，=b. 则|a|=3，|b|=