高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质单元测评1 新人教A版选修41.doc

第一讲 相似三角形的判定及有关性质单元测评(一)1.如图1-1，已知在abc中，c90,正方形defc内接于abc，deac，efbc，ac1，bc2，则affc等于（）图1-1a.13b.14c.12d.23思路解析:设正方形边长为x，则由afeacb,可得=，即=.所以，于是=.答案：c2.在abc中，ab=9，ac =12，bc =18，d为ac上一点， ，在ab上取一点e，得到ade.若图中的两个三角形相似，则de的长是（）a.6b.8c.6或8d.14思路解析:依题意，本题有两种情形：（1）如图(1)，过d作decb交ab于e，则= =，ab =9，ac =12， =12 =8.ad =ac-dc =12-8 =4. =.（2）如图(2)，作ade =b，交ab于e，则adeabc，= =. =.de的长为6或8.答案：c3.如图1-2所示，矩形abcd中，ab =12，ad =10，将此矩形折叠使点b落在ad边上的中点e处，则折痕fg的长为（）图1-2a.13b.c. d. 思路解析:过a作ahfg交cd于h，则四边形afgh是平行四边形，ah=fg.fgbe，ahbe.abe +bah=90.bah +dah=90，abe =dah.bae =adh=90,abedah.=.ab =12， =10 =5，ad =10,be =13.=.答案：c4.如图1-3所示，将边长为1的正方形abcd绕a点按逆时针方向旋转60至abcd的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为（）图1-3a.4b.2-3c.2+3d.3-1思路解析:过b点作efbc，分别交ab、dc于e、f.由基本图形知rtkfbrtbea.利用ae2+be2=ab2,ae = ab=,求出be =.= = = =.kb=.连结ak，则rtabkrtadk,sabk =sadk.sabkd =2sabk =abkb=.答案：b5.如图1-4所示，在矩形abcd中，aebd于e，s矩形40 cm2，sabesdba15，则ae的长为（）图1-4a.4 cmb.5 cmc.6 cmd.7 cm思路解析:bad90，aebd，abedba.sabesdba ab2db2.sabesdba 15，ab2db215.abdb15.设ab k， ，则ad 2k.s矩形 40 cm2，k2k40.bd 5k10， .sabd.10ae20.ae 4 cm.答案：a6.下列命题正确的是（）a.所有的直角三角形都相似b.所有的等腰三角形都相似c.所有的等腰直角三角形都相似d.所有的有一个角为30的等腰三角形都相似思路解析:此题容易混淆的是d，d中所有的有一个角是30的等腰三角形，若一个是顶角为30,而另一个是底角为30，那么这两个等腰三角形不相似，即条件30角的位置不明确.答案：c7.如图1-5，已知abcade，且ade =b，则下列比例式中正确的是（）图1-5a. = b. =c. = d. = 思路解析:本题的关键是找准对应边，ade =b，那么ade的对边ae与b的对边ac是对应边，de与bc是对应边，所以d正确.答案：d8.如图1-6，在平行四边形abcd中，f是bc边上的点，延长df与ab的延长线相交于g，则相似三角形有（）a.3对b.4对c.5对d.6对思路解析:若包括全等三角形在内，有6对相似三角形，其中上、下看：gbfgad，efceda，左、右看：gfbdfc，gaedce，gaddfc，又因为dcag，所以abccda，于是共有6对三角形相似.答案：d9.如图1-7，abcd是矩形,bef=90，这四个三角形能相似的是（）图1-7a.与b.与c.与d.与思路解析:bef =90，1与2互余.又3与2互余，1=3且有直角相等.与相似.答案：b10.如图1-8，已知abc中，ad是bc边上的中线，e是ad的中点,be的延长线交ac于点f.求证:af =ac.图1-8思路分析:要证af =，只要能在fc上取一点g,能证明af =fg =gc即可当已知三角形一边中点时，常过该点作三角形其他边的平行线，构成平分第三边的基本图形.证明：过d点作dgbf交ac于点g.bd =dc,dgbf,fg =gc.又efdg,ae =ed,af =fg.11.如图1-9所示，已知直线fd和abc的bc边交于d，与ac边交于e，与ba的延长线交于f，且bd =dc，求证:aefb =ecfa.图1-9思路分析:本题只要证=即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行进行构造.证明：过a作agbc，交df于g点.agbd，=.又bd =dc，=.agbc,=.=，即aefb =ecfa.12.如图1-10，已知矩形abcd中，abbc=56，点e在bc上，点f在cd上， ， ，fgae于g.求证:ag =4ge.图1-10思路分析:图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设ab=5k，bc=6k(k0)，则 bc =k, = =3k，得df =2k，由勾股定理可得ae2=ab2+be2=50k2，ef2=ec2+fc2=10k2，af2=ad2+df2=40k2，所以ae2=ef2+af2.由勾股定理逆定理得afe为直角三角形，又因为fgae，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目.证明：abbc=56,设ab =5k,bc =6k(k0).在矩形abcd中，有cd =ab =5k,bc =ad =6k,b =c =d =90.,ec =6k =k.be =5k.,fc =5k =3k.df =cd -fc =2k.在rtadf中，由勾股定理得af2=ad2+df2=36k2+4k2=40k2，同理可得ae2=50k2,ef2=10k2.af2+ef2=40k2+10k2=50k2=ae2.aef是直角三角形.fgae，afefge.ef2=geae., = =.ag =ae ge = =.ag =4ge.13.如图1-11，点c、d在线段ab上，pcd是等边三角形.(1)当ac、cd、db满足怎样的关系时，acp pdb？(2)当acp pdb时，求apb的度数.图1-11思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似了，那么对应角相等，易求apb.解：（1）pcd是等边三角形，pcd=pdc=60，pd =pc =cd.从而acp =pdb =120.当=时，acppdb,即当cd2=acbd时，acppdb.（2）当acppdb时,apb =apc+cpd +dpb=pbd +60+dpb=60+60=120.14.如图1-12,abc中,debc,cd、be交于o点,过o作mnbc,分别交ab、ac于m、n,求证: + =.图1-12思路分析:要证+ =,只需证 (+)=1即可.通过debc,mnbc确定与的关系.证明:debc,mnbc,=, =. +得+ = =1.同理可证+ =1,mo