华中科技大学研究生矩阵论PPT课件.ppt

矩阵论 课程 矩阵论 MatrixTheory 学时 48学时 48Lectures 教材 矩阵论 第2版 杨明 刘先忠编著 华中科技大学出版社 2005任课教师 杨明 Dr YangMing 前言 一 课程介绍研究内容 矩阵与线性空间和线性变换以矩阵为工具研究问题在其中发展矩阵理论矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵的分析理论各类矩阵的性质研究矩阵被认为是最有用的数学工具 既适用于应用问题 又适合现代理论数学的抽象结构 二 教学安排 学时配置讲授第1章至第6章 48学时 第1章 10学时 第2章 8学时第3章 8学时 第4章 6学时 第5章 8学时 第6章 6学时 考核方式 课程结束考试 第13周 卷面成绩为最终成绩 三 教学指导意见 背景要求 线性代数矩阵与计算工具 MATLAB MAPLE 矩阵与现代应用 应用选讲教学参考书 余鄂西 矩阵论 高等教育出版社 1995 方保熔等 矩阵论 清华大学出版社 2004 FuzhenZhang MatrixTheory Springer 1999 DenisSerre MatricesTheoryandApplications Springer 2002 矩阵论历年试题及其解答不交作业 但应该重视练习环节 第1章 线性空间与线性变换 内容 线性空间的一般概念重点 空间结构和其中的数量关系线性变换重点 其中的矩阵处理方法特点 研究代数结构 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身 而是对象之间的结构关系 研究的关注点 对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点 具有抽象性和一般性 1 1线性空间 一 线性空间的概念几何空间和n维向量空间的回顾推广思想 抽象出线性运算的本质 在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构 定义1 1 P 1 要点 集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算运算的性质刻画 常见的线性空间 Fn X x1 x2 xn T x F 运算 向量加法和数乘向量Fm n A aij m n aij F 运算 矩阵的加法和数乘矩阵Rm n Cm n Pn x p x ai R 运算 多项式的加法和数乘C a b f x f x 在 a b 上连续 运算 函数的加法和数乘eg5 V R F R a b ab a a F R或C 线性空间的一般性的观点 线性空间的一般形式 V F 元素被统称为向量 线性空间的简单性质 共性 定理1 1 V F 具有性质 1 V F 中的零元素是惟一的 2 V F 中任何元素的负元素是惟一的 3 数零和零元素的性质 0 0 k0 0 k 0 0或k 0 4 1 数0 向量0 二 线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关 定义形式和向量空间Rn中的定义一样 有关性质与定理和Rn中的结果一样 例题1证明C 0 1 空间中的向量组 ex e2x e3x enx x 0 1 线性无关 二 线性空间的基和维数 基与维数的概念 P 2 定义1 2常见线性空间的基与维数 Fn 自然基 e1 e2 en dimFn nRm n 自然基 Eij dimRm n m n Pn x 自然基 1 x x2 x3 xn 1 dimPn x nC a b 1 x x2 x3 xn 1 C a b dimC a b 约定 Vn F 表示数域F上的n维线性空间 只研究有限维线性空间 三 坐标 1定义1 3 P 3 设 1 2 n 是空间的一组基 则x1 x2 xn是 在基 i 下的坐标 例1 求R2 2中向量在基 Eij 下的坐标 要点 坐标与基有关坐标的表达形式 例2设空间P4 x 的两组基为 1 x x2 x3 和 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 求f x 2 3x 4x2 x3在这两组基下的坐标 归纳 任何线性空间Vn F 在任意一组基下的坐标属于Fn 每一个常用的线性空间都有一组 自然基 在这组基下 向量的坐标容易求得 求坐标方法的各异性 2 线性空间Vn F 与Fn的同构 坐标关系Vn F Fn基 1 2 n 由此建立一个一一对应关系 Vn F X Fn X 1 2 1 2 k k 在关系 下 线性空间Vn F 和Fn同构 同构的性质 定理1 3 Vn F 中向量 1 2 n 线性相关 它们的坐标 X1 X2 Xn 在Fn中线性相关 同构保持线性关系不变 应用 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系 例题2设R2 2中向量组 Ai 1讨论 Ai 的线性相关性 2求向量组的秩和极大线性无关组 3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合 四 基变换和坐标变换 讨论 不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式设空间中有两组基 过渡矩阵C的性质 C为非奇异矩阵C的第i列是 i在基 i 下的坐标 则 过渡矩阵 2坐标变换公式 已知空间中两组基 满足 讨论X和Y的关系 X CY 1 2 3 例题4 已知空间R中两组基 I Eij II 求从基 I 到基 II 的过渡矩阵C 求向量在基 II 的坐标Y 例题3 P6例题11 1 1五 子空间 概述 线性空间Vn F 中 向量集合V可以有集合的运算和关系 Wi V W1 W2 W1 W2 问题 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 1 子空间的概念 定义 设集合W Vn F W 如果W中的元素关于Vn F 中的线性运算为线性空间 则称W是Vn F 的子空间 判别方法 定理1 5W是子空间 W对Vn F 的线性运算封闭 子空间本身就是线性空间 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法 重要的子空间 设向量组 1 2 m Vn F 由它们的一切线性组合生成的子空间 L 1 2 m 矩阵A Fm n 两个子空间 A的零空间 N A X AX 0 Fn A的列空间 R A L A1 A2 An Fm Ai为A的第i列 2 子空间的 交空间 与 和空间 讨论 设W1 Vn F W2 Vn F 且都是子空间 则W1 W2和W1 W2是否仍然是子空间 1 交空间交集 W1 W2 W1而且 W2 Vn F 定理1 6 W1 W2是子空间 被称为 交空间 2 和空间和的集合 W1 W2 X1 X2 X1 W1 X2 W2 W1 W2 W1 W2 定理1 6 W1 W2是子空间 被称为 和空间 W1 W2不一定是子空间 W1 W2 W1 W2 例1 7设R3中的子空间W1 L e1 W2 L e2 求和空间W1 W2 比较 集合W1 W2和集合W1 W2 如果W1 L 1 2 m W2 L 1 2 k 则W1 W2 L 1 2 m 1 2 k 3 维数公式 子空间的包含关系 dimW1 W2 dimWi dimW1 W2 dimVn F 定理1 7 dimW1 dimW2 dim W1 W2 dim W1 W2 证明 4 子空间的直和 分析 如果dim W1 W2 0 则dim W1 W2 dimW1 dimW2所以 dim W1 W2 dimW1 dimW2 dim W1 W2 0 W1 W2 0 直和的定义 定义1 6 dim W1 W2 0 则和为直和W W1 W2 W1 W2 子空间的 和 为 直和 的充要 条件 定理1 8设W W1 W2 则下列各条等价 1 W W1 W2 2 X W X X1 X2的表是惟一的 3 W中零向量的表示是惟一的 4 dimW dimW1 dimW2 例1P12eg18例2设在Rn n中 子空间W1 A AT A W2 B BT B 证明Rn n W1 W2 例3子空间W的 直和补子空间 1 2内积空间 主题 定义内积的概念 借助于内积建立线性空间的度量关系 一 欧氏空间和酉空间1几何空间中度量关系的定义基础2内积的定义定义1 7 P13 要点 内积 是二元运算 Vn F F 的公理性质 是任何满足定义的运算 讨论 1 2 k 3 内积空间的定义 Vn F F R 欧氏空间 F C 酉空间4常见的内积空间 Rn T Cn H Cm n A B tr BHA Pn X f x g x 5向量的长度定义 6欧氏空间中向量的夹角 定义 0 0 夹角 定义为 cos 性质 k k Cauchy不等式 Vn F 和 正交 0 7线性空间的内积及其计算 设 1 2 n 是内积空间Vn F 的基 Vn F 则有 x1 1 x2 2 xn n 1 2 n X y1 1 y2 2 yn n 1 2 n Y YHAX 定义内积 在一个基 1 2 n 中定义内积 定义一个度量矩阵A 度量矩阵A 度量矩阵的性质 二 标准正交基 1标准正交的向量组 定义 1 2 n 为正交组 i j 0性质 2标准正交基基 1 2 n 是标准正交基 i j 标准正交基的优点 标准正交基的优点 度量矩阵是单位矩阵 即A I 1 2 n X 1 2 n Y YHX x1 1 x2 2 xn n xi i 和 正交 其坐标X和Y正交 坐标空间Fn的内积 求标准正交基的步骤 Schmidt正交化标准化矩阵方法讨论 正交补 子空间 i 集合的U的正交集 U Vn F U 0 ii U是Vn F 的子空间U 是Vn F 子空间 iii Vn F U U U的正交补子空间 1 3线性变换 一 线性变换的概念定义1 11 P 19 要点 i T是Vn F 中的变换 T Vn F Vn F ii T具有线性性 T T T T k kT 从一般性的角度给出的定义 例题1Vn F 中的相似变换T 是F中的数 Vn F T 特例 1 T 是恒等变换 0 T 是零变换 可以在任何线性空间中定义相似变换 例题2Fn中的变换TA 设A Fn n是一个给定的矩阵 X Fn TA X AX 例题3Pn X 中的微分变换 2线性变换的性质 i T 0 0 ii T T iii 3线性变换的象空间和零空间设线性变换T Vn F Vn F 象空间R T Vn F T 零空间N T Vn F T 0 定义 T的秩 dimR T T的零度 dimN T 线性变换保持线性相关性不变 例题27求Fn线性中的变换TA Y AX的象空间和零空间 R TA R A N TA N A 4线性变换的运算设T1 T2都是空间Vn F 中的线性变换 常见的用它们构成的新的变换 i T1 T2 Vn F T1 T2 T1 T2 ii T1T2 Vn F T1T2 T1 T2 iii kT Vn F kT k T iv 若T 1是可逆变换 T 1 T 1 当且仅当T 定义 二 线性变换的矩阵 1线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn F 上线性变换的特点分析 定义变换T 确定基中向量的象T i 定义T i 确定它在基下 i 的坐标Ai 定义变换T 确定矩阵A A1 A2 An i A为变换矩阵 ii 变换的坐标式 Y AX iii 应用意义 例题1对线性变换 P4 X P4 X 求D在基 1 X X2 X3 下的变换矩阵 2求向量在变换D下的象 2线性变换运算的矩阵对应 设Vn F 上的线性变换T1 T2 它们在同一组基下的矩阵 T1 A1 T2 A2 i T1 T2 A1 A2 ii T1T2 A1A2 iii kT kA iv T 1 A 1 3不同基下的变换矩阵两组基 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n CT 1 2 n 1 2 n AT 1 2 n 1 2 n B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 B C 1AC 1 2 3 例题2 P23 eg28 例题2 P23 eg28 例题3 P24 eg29 设单位向量u 2 3 2 3 1 3 定R3上的线性变换P x x x u u 求P在自然基 e1 e2 e3 下的变换矩阵 求P在标准正交基 u u2 u3 下的变换矩阵 三 不变子空间 问题的背景 变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1 不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点定义 p24 定义1 14 2 不变子空间的判别W是T的不变子空间 W T W 特别 W L 1 2 m W是T的不变子空间T i W T W W P24 例题30R3上的正交投影P P x x x u u u是单位向量 证明L u 和u x x u 0 是P的不变子空间 3空间分解与矩阵分解Vn F W U W U是T的不变子空间 W L 1 r U r 1 n 则T 1 r r 1 n Vn F U1 U2 Uk 则T 矩阵Ai的阶数 dimUi 四 正交变换和酉变换 讨论内积空间 V 中最重要的一类变换 1定义1 15 P25 2正交 酉 变换的充要条件 定理1 15 P26 T是内积空间V F 上的线性变换 则下列命题等价 T是正交变换T保持向量的长度不变T把V F 的标准正交基变成标准正交基T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵C CTC I酉矩阵U UHU I定理1 16 P27 常见的基本正交变换 平面上的旋转几何描述 绕坐标原点 逆时针旋转一个 角 变换矩阵 在自然基下 R3空间中的镜像变换定义 S x x 2 x u u 变换矩阵与几何意义 空间中的旋转几何描述 绕空间中过原点的一根直线L 旋转一个 角 变换矩阵 例题1求R3中绕过原点 以u 1 1 1 T为正向的直线 顺u方向看去是逆时针的旋转变换T在R3中自然基下的变换矩阵 五 线性空间Vn F V