高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 四 弦切角的性质成长学案 新人教A版选修4-1.doc

四 弦切角的性质主动成长夯基达标1.如图2-4-8,ab是半圆o的直径,c、d是半圆上的两点,半圆o的切线pc交ab的延长线于点p,pcb25,则adc为（）图2-4-8a.105b.115c.120d.125思路解析:连结ac,构造出圆周角adc所对弧的弦切角,即pca,而pca显然等于pcb加上一个直角,由此即得结果.答案:b2.如图2-4-9,ab是o的直径,ef切o于c,adef于d,ad =2,ab =6,则ac的长为（）图2-4-9a.2b.3c.23d.4思路解析:连结bc,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有adc与acb相似,所以可得=,代入数值得关于ac的方程.答案:c3.如图2-4-10,ab是o的弦,cd是经过o上的点m的切线.求证:图2-4-10(1)如果abcd,那么am =mb;(2)如果am =bm,那么abcd.思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得b =dmb,由弦切角得dmb =a,于是有a =b.证明:(1)cd切o于m点,dmb=a,cma =b.abcd,cma =a.a =b.am =mb.(2)am =bm,a =b.cd切o于m点,dmb =a,cma =b.cma =a.abcd.4.如图2-4-11,四边形abed内接于o,abde,ac切o于a,交ed延长线于c.求证:adae =dcbe.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形acd和abe中,所以只要证明acdabe即可.证明:四边形abed内接于圆,adc =abe.ac是o的切线,cad =aed.abde,bae =aed.cad =bae.acdabe.adae =dcbe.5.如图2-4-12,p为o的直径cb延长线上的一点,a为o上一点,若=,ae交bc于d,且c =pad.图2-4-12(1)求证:pa为o的切线;(2)若bea =30,bd 1,求ap及pb的长.思路分析:对于（1）,a已经是圆上一点,所以可以连结oa,证明pa与oa垂直;对于（2）,将e利用圆周角定理转移到rtoda和rtoap中,解直角三角形即可得到线段ap及pb的长.（1）证明:连结ao,=,bc为直径,aebc,ad =de, =de.oa =ob,c =3.1=2c.又c =pad,1=2.1+4=90,2+4=90.paoa.pa为o的切线.（2）解:在rtebd中,bea =30,bd1,be =2,de =.在rtoda和rtebd中,4=90-1=90-2c=90-2e =30=e,oda =bde,ad =ed,rtodartebd.ad =de =,od =bd =1,oa =be =2.在rtoap中,adop,ad2=oddp,即=1dp.dp =3.bp =2.在rtadp中,根据勾股定理,得 =.6.如图2-4-13,ba是o的直径,ad是o的切线,切点为a,bf、bd交ad于点f、d,交o于e、c,连结ce.求证:bebf =bcbd.图2-4-13思路分析:要证bebf =bcbd,只需证becbdf,dbf为公共角,只需再找一组角相等,为此,过b作o的切线,构造弦切角.证明:过b作o的切线bg,则bgad,gbc =bdf.又gbc =bec,bec =bdf.而cbe为公共角,becbdf.bebf =bcbd.7.如图2-4-14,o是abc的外接圆,acb的平分线ce交ab于d,交o于e,过e点作o的切线交cb的延长线于f.求证:ae2 =adef.图2-4-14思路分析:要证ae2=adef,考虑相似三角形,但ae、ad、ef所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结be,febead =.又3=2be =aebe =ae,则ae2=adef.8.如图2-4-15,pa、pb是o的两条切线,a、b为切点,c是上一点,已知o的半径为r,po =2r,设pac+pbc =,apb =,则与的大小关系为()a.b.=c.d.不能确定思路解析:连结ab、ao,pa、pb为切线,pac=abc,pbc=bac.=pac+pbc=pac+bac=pab =pba = =.ao =r,pa切o于a,aopa,且po=2r.apo = 30.apb =2apo=60.=60.= (180-60)=60.=.答案:b图2-4-159.如图2-4-16,已知ab为o的直径,p为ab延长线上一点,pt切o于t,过点b的切线交at延长线于d,交pt于c.图2-4-16(1)试判断dct的形状.(2)dct有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么;若有可能,求出这时pb与pa应满足的条件.思路分析:要判断dct的形状,先考虑其内角的关系,注意到ct、cb为切线,则连结bt,可用弦切角定理推论得atb =btd =90,从而可判断dct的形状.解:(1)连结bt,cb、ct为o的切线,ctb =cbt.又ab为o的直径,atb =dtb =90.dtc =90-ctb,d =90-cbt.dtc =d,即cd =ct.dct为等腰三角形.(2)若dct为正三角形,则d =60,由(1)知cbt=90-d =30,而cb切o于b,a =cbt=30.在rtatb中, =sin30=,且abt=90-30=60,abt =ctb +p.而ctb =cbt =30,p =30.p =ctb.pb = tb.=,即当pbpa=13时,dct为正三角形.走近高考10.如图2-4-17,ab是o的直径,pb切o于点b,pa交o于点c,apb的平分线分别交bc、ab于点d、e,交o于点f,a=60,并且线段ae、bd的长是一元二次方程x2-kx +=0的两个根(k为常数).图2-4-17(1)求证:pabd=pbae;(2)证明o的直径长为常数;(3)求tanfpa的值.思路分析:(1)由pbdpae即可证得.(2)由韦达定理知ae +bd =k,只需证be =bd,这可由角的相等证得.(3)要求tanfpa,先将fpa转化到直角三角形中,而fpb =fpa,fpb恰好在rtpbe中,解此三角形即可.(1)证明:pb切o于点b,pbd =a.又pe平分apb,ape =bpd.pbdpae.=.pabd = pbae.(2)解:由(1)知ape =epb,又bed =a +epa,bde =pbc+epb,bed =bde.be =bd.ae、bd为方程x2-kx +=0的两个根,ae +bd =k =ab.o的直径为常数k.(3)解:pb切o于点b,ab为直径,pba =90.a =60,pb =pasin60=.由(1)得pabd =pbae,.ae、bd的长是方程x2-kx +=0的两个根,aebd =.ae =2,bd =3.在rtpba中,pb =abtan60=()=.在rtpbe中,tanbpe = = =,又fpa =bpf,tanfpa =.11.如图2-4-18(1),四边形abcd是o的内接四边形,a是的中点,过a点的切线与cb的延长线交于点e. (1) (2)图2-4-18(1)求证:abda=cdbe;(2)如图2-4-18(2),若点e在cb延长线上运动,使切线ea变为割线efa,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?思路分析:(1)只需证abecda.(2)如题图(2),要使结论仍然成立,注意到abe =adc始终成立,因此仍然只需使abecda即可,这样只要另一组对应角相等即可,即只需bae =acd或e =cad.(1)证明:连结ac,ae切o于a,eab =acb.ab =ad,acd =acb.eab =acd.又四边形abcd内接于o,abe =cda.abecda.=.abda =cdbe.(2)解:当bf =da时,eab =acd,又abe =adc,abeacd,abda =cdbe,此时仍然成立.12.如图2-4-19,已知c点在o直径be的延长线上,ca切o于a点,bac的平分线交ae于f点,bca的平分线交ab于d点.图2-4-19(1)求adf的度数.(2)若acb的度数为y度,b的度数为x度,那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若ab =ac,求acbc.思路分析:（1）中由ac为o切线可得b =eac,由cd平分acb可得acd =dcb,根据三角形外角定理,得到adf =afd,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用aceabc可得.解:（1）ac为o的切线,b =eac.cd平分acb,acd =dcb.b +dcb=eac+acd,即adf =afd.be为o的直径,dae =90.adf = (180-dae )=45.（