高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法 2.2 综合法与分析法达标训练 新人教A版选修4-5.doc

2.1 比较法 2.2 综合法与分析法更上一层楼基础巩固1.求证：a2+3b22b(a+b).思路分析：根据不等式两边均为多项式，作差比较后可以化为完全平方式的形式，容易判定符号，用比较法较好.证明：a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)20,a2+3b22b(a+b).2.证明:.思路分析：本题左右两边均含有根式，直接比较不好证明，可以用分析法证明，当然也可以用综合法证之.证明：，又()2-()2=-5=0,.3.求证：-11.思路分析：由于0，所以采用分析法证明,逐步寻求待证不等式的充分条件即可，用分析法证明较好.证明：要证-1，只需证0，即0，上式显然成立，所以-1.类似地，可以证明0,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.思路分析：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2+b2+c2ab+bc+ca时，可将a2+b2+c2-(ab+bc+ca)配方为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，亦可利用a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,三式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.证明：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=a(b2+c2-2bc)+b(a2+c2-2ac)+c(a2+b2-2ab)=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)20,ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.5.已知a,b,c0，求证：aabbcc(abc).思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，不妨设abc，,则a-b,b-c,a-cr+,故尝试用作商比较法.证明：等式关于a,b,c对称，不妨设abc，则a-b,b-c,a-cr+，且,，都大于等于1.1.aabbcc(abc).6.已知abc的三边长是a,b,c，且m为正数，求证：.思路分析：直接证明不容易找到思路，选择分析法通过通分变形，用到三角形三边的关系:a,b,c为三边长，a+bc,问题得证.证明：欲证原不等式成立，只要证：a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)0,按m的降幂整理得,(a+b-c)m2+2abm+abc0.a,b,c为三边长，a+bc.又m0,(a+b-c)m2+2abm+abc0成立.所以原不等式成立.综合应用7.设f(x)=2x2+1,pq0,p+q=1.求证:对任意实数a,b，恒有pf(a)+qf(b)f(pa+qb).思路分析：通过作差变形得到2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1，通过讨论，判断符号，发现证明思路，用综合法去证.证明：考虑原式两边的差.pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)=p(2a2+1)+q(2b2+1)-2(pa+qb)2+1=2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1. p+q=1,pq0,式=2pqa2+2pqb2-4pqab=2pq(a-b)20.即原式成立.8.设a、b、c正实数，证明：abc.思路分析:通过观察不等式两边的特点，可轮换应用基本不等式，直接用综合法可证，也可用分析法证明.证明：a2b2+b2c22ab2c,a2b2+c2a22a2bc,b2c2+c2a22abc2,2(a2b2+b2c2+c2a2)2abc(a+b+c),abc.9.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点.思路分析：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2.要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了.解：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有=s,=t2,可得t1=,t2=,从而t1-t2=，其中s,m,n都是正数，且mn.于是t1-t20，即t10时，证明(nn*）；当1时，证明(nn*).思路分析：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证.（1）解：由已知x1=x2=1，且x3=,x4=3,x5=6,若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即2=6.而0，解得=1.（2）证明：()由已知0,x1=x2=1及y1=y2=