高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程成长训练 新人教A版选修4-4.doc

一 曲线的参数方程主动成长夯基达标1.已知某条曲线的参数方程为 (其中a是参数)，则该曲线是()a.线段b.圆c.双曲线d.圆的一部分解析:本题中的参数方程对于同学们来说不太熟悉,很自然这时应该考虑将其转化为相应的普通方程来看,由此进行消参,如何消参,又需要适当的观察,将两式平方相减,得x2-y2=1,并且由|x|=|a+|1,x1或x-1,易知结果.答案:c2.已知某条曲线的参数方程为(0t5)，则该曲线是()a.线段b.圆弧c.双曲线的一支d.射线解析:消去参数t,将其化为普通方程,并注意x,y的范围即可确定.由题中的参数方程 (0t5),消去参数t,得x-3y=5.又0t5,故1y26.故题中所给曲线是线段.答案:a3.若曲线(为参数),则点(x,y)的轨迹是()a.直线x+2y-2=0b.以(2,0)为端点的射线c.圆(x-1)2+y2=1d.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:x=1+cos2=1+1-2sin2=2-2y,且0x2,0y1,轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:d4.曲线c的方程为(tr)，则曲线c的图象在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解析:本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x=(t+1)2+22,y=(t+2)2+11,从而易知该曲线位于第一象限.答案:a5.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆(为参数)的圆心在()a.第四象限b.第三象限c.第二象限d.第一象限解析:直线y=ax+b经过第二、三、四象限,a0,b0)的直径是4,则圆心坐标是_.解析:2r=4,r=2.圆心坐标是(r,),即(2,1).答案:(2,1)9.动点(2-cos,cos2)的轨迹的普通方程是_.解析:设动点坐标为(x,y),得这就是动点所表示的曲线的参数方程.消去参数,得y=2(2-x)2-1,即(2-x)2=(y+1),由于|y|=|cos2|1,动点轨迹只是抛物线的一部分,即(x-2)2=(y+1)(1x3).答案:y=2(x-2)2-1(1x3)10.已知实数x、y满足条件x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的取值范围是_.解析:本题条件可理解为点(x,y)在圆x2+y2-2x+4y=0上移动,这是数形结合的思想,圆的参数方程为x-2y=1+cos-2(-2+sin)=5+5(cos-2sin)=5+5sin(-).答案:0,1011.已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值.解析:这样的题目可考虑数形结合,把满足的x、y视为圆(x+1)2+(y-2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解,也可引入向量来求解,这样也要求同学们对于所学知识能够使用.解:由题意知,设代入3x+4y=3(-1+4cos)+4(2+4sin)=20cos(+)+5,于是3x+4y的最大、最小值分别为25、-15.12.求u=的最小值.解:令p(cos,sin)、q(1,2),p为圆x2+y2=1上任意一点.如图可知,u=就是直线pq的斜率.当过q的直线与圆x2+y2=1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.设过q与圆x2+y2=1相切的直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.圆心o到切线pq的距离等于半径1,=1,解之,得k=.u的最小值为.13.已知点q是圆x2+y2=4上的动点，定点p(4,0)，若点m分pq所成的比为12，求点m的轨迹.解析:本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化,要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹.解:设点q(2cos,2sin),m(x,y),则由题意得两式平方相加,得点m的轨迹方程为(-2)2+(2)2=4,即(x-)2+y2=,故其轨迹为以点(,0)为圆心、为半径的圆.14.在abc中，a、b、c所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosacosb=ba=43，p为abc的内切圆上的动点，求点p到顶点a、b、c的距离的平方和的最大值与最小值.解析:本题与三角函数有一定的联系,题目出现在这里,也是对于前面所学知识的复习,也和曲线的参数方程联系起来了,由此也可以看出数学知识间的联系,具有一定程度的综合性.解:由cosacosb=ba,得sin2a=sin2b,因为ab,ab,所以2a=-2b,即a+b=.由此可知abc为直角三角形.又c=10,ba=43,a2+b2=c2,可得a=6,b=8.故其内切圆半径为r=2.以顶点c为原点、ca所在直线为x轴（其中点a处于x轴正半轴上,点b位于纵轴的正半轴上）,则cb的相应内切圆的参数方程为则该圆上的动点p的坐标为(2+2cos,2+2sin),pa2+pb2+pc2=(2cos-6)2+(2+2sin)2+(2+2cos)2+(2sin-4)2+(2+2cos)2+(2+2sin)2=80-8cos,故所求的最大值与最小值分别为88、72.15.在不考虑空气阻力、风向等因素的条件下，炮弹的飞行轨道是一条抛物线，现测得我炮位a与目标b的水平距离为6 000米，而当射程为6 000米时，炮弹最大高度为1 200米，在a、b之间距炮位点a 500米处有一个高度为350米的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物而击中目标？解析:本题与实际生活密切联系,并且与物理学有一定联系,容易知道炮弹的飞行轨迹是一条抛物线,容易写出其参数方程,从而将问题解决.但题中没有给出坐标系,首先要同学们自己根据题意所述建立合适的坐标系,以把问题解决.解:以a为原点、ab所在直线为x轴,建立坐标系,确定出弹道抛物线方程是y=(x-3 000)2+1 200,将x=500代入方程求得y=367350,故可越过障碍物而击中目标.16.设有半径为3千米的圆形村落，a、b两人同时从村落中心出发，a向东、b向北前进.a出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与b相遇，设a、b两人的速度都一定，其比为31，问a、b两人在何处相遇？解析:注意到村落为圆形,且a、b两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动,于是可设想以村落的中心为原点,以开始时a、b的前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件.解:由题意可设a、b两人的速度分别为3v km/h、1v km/h,再设a出发x0小时后,在点p处改变方向,又经过y0小时,在点q处与b相遇,则p、q两点的坐标分别为(3vx0,0),(0,v(x0+y0),（同学们可以根据题目的解答过程画出相应的示意图）由于a从p到q行走的时间是y0小时,于是由勾股定理知op2+oq2=pq2,即(3vx0)2+v(x0+y0)2=(3vy0)2,化简整理得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.又x0+y00,所以5x0=4y0.于是kpq=,将代入得kpq=-.由于切线pq与y轴的交点q对应的纵坐标v(x0+y0)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y=-x+b与圆x2+y2=9相切时,求纵截距b的值”.利用圆心到切线的距离等于半径,得=3,b=(b0),因此a、b相遇的地点是在离村落中心正北334 km处.走近高考1.(经典回放)在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()a.(2,-7)b.()c.()d.(1,0)解析:由参数方程中x和y的取值范围可知a不合题意.由y=cos2可变形为y=1-2sin2,把x=sin代入,消参数得普通方程为y=1-2x2.把余下三点代入方程,可知点(,)满足方程.答案:c2.(经典回放)曲线的参数方程是 (t是参数,t0),它的普通方程是()a.(x-1)2(y-1)=1b.y=c.y=d.y=+1解法一:利用消参法消去参数t,得到它的普通方程.由x=1-,得t=,代入y=1-t2,得y=1-解法二:令t=-,则x=3,y=,并代入选择肢检验,只有y=满足要求.答案:b3.若p(2,-1)为圆ox=1+5cos,y=5sin(02)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是()a.x-y-3=0b.x+2y=0c.x+y-1=0d.2x-y-5=0解析:圆心o(1,0),kpo=-1.kl=1.直线方程为x-y-3=0.答案:a4.(经典回放)把参数方程 (为参数)化为普通方程,结果是_.解析:由y=cos+1变形,得y-1=cos,把y-1=cos和x=sin两式平方相加,得x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=15.曲线c:(为参数)的普通方程是_,如果c与直线x+y+a=0有公共点