高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入教案 北师大选修1-2.docVIP

4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学过程一问题情境1情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)解方程的需要为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集 引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数（可以以分解因式：为例）2问题：实数集应怎样扩充呢？二建构数学1为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位并作如下规定：；实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成 ()的形式2复数概念及复数集形如()的数叫做复数全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示，即显然有n*nzqrc3复数的有关概念1) 复数的表示：通常用字母表示，即()，其中分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数复数()，当时，就是实数复数()，当时，叫做虚数特别的，当，时，叫做纯虚数3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等即，（复数相等的充要条件），特别地：（复数为的充要条件）复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、br)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、br)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=2+i可以由有序实数对(2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点a，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、br)可用点z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数 ，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，1)表示纯虚数i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3)表示的复数是2+3i，z=53i对应的点(5，3)在第三象限等等.复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.7）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数8）复数的几何意义复数a+bi，即点z（a,b）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。以o为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）三者的关系如下：复数 复平面内的点z（a,b）平面向量复数的模（或绝对值）向量的模叫做复数z=a+bi的模（或绝对值），记作或。如果b=0，那么z=a+bi就是实数a，它的模等于（即实数a的绝对值）。=三数学运用1例题：例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数 解： 的实部分别是；虚部分别是是实数；是虚数，其中是纯虚数例2 实数取什么值时，复数是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？分析：由可知，都是实数，根据复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定的值解：（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时复数是纯虚数（变式引申）：已知，复数，当为何值时：（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数解：（1）当且，即时，是实数；（2）当且，即且时，是虚数；（3）当且，即或时，为纯虚数思考：是复数为纯虚数的充分条件吗？答：不是，因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要而非充分条件例3 已知，求实数的值 解：根据两个复数相等的充要条件，可