高中数学 第一章 统计 1.7 相关性知识导航 北师大版必修3.DOC

7相关性知识梳理1.变量与变量之间的关系大致可分为两种类型:确定的函数关系和不确定的相关关系.2.两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来,这些点对应的图形叫做散点图.3.从散点图上看,如果两个变量之间存在着某种关系,这些点会有一个集中的大趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样的近似过程称为曲线拟合.若两个变量的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称这两个变量是线性相关的,而若所有点看上去在某条曲线附近波动,则称此相关为非线性相关.如果所有点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间不相关.知识导学学习本节时,首先知道变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系;另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系,我们称它们为相关关系.其次是如何判断和分析具有相关关系的两个或多个变量,也就是如何寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性.疑难突破1.函数关系与相关关系的区别与联系剖析:函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能有很强的相关关系.然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及到第三个因素年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大身高也会高些.两种关系之间的联系:两类关系在一定条件下可以相互转化.如正方形面积s与其边长x之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积时,由于测量误差等原因,其数值大小表现为一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说,在求得其回归直线之后,又可以用一种确定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计.在现实生活中,相关关系大量存在.在某种意义上说,函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.2.散点图的重要作用剖析:散点图对于探究两种事物、两种现象之间的关系起着重要的作用.它是用平面直角坐标系上点的分布图形来表示两种事物之间的相关性及联系的模式,比如:为研究小学生的身高与体重之间的关系,研究人员分别以每个学生的身高、体重为横、纵坐标,在平面直角坐标系内画出相应的点,这些点便组成了相关的散点图.散点图直观地反映了两个事物的成对观测值之间是否存在相关,至于什么样的相关,就要看研究的角度.散点图的制作通常有两种方法:一是手工绘图;二是用计算机作图.手工作图比较烦琐,也易出现误差,不够精确,我们通常利用计算机作图,简单而准确.典题精讲例1给出下列关系:正方形的边长与面积之间的关系水稻产量与施肥量之间的关系人的身高与年龄之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系其中具有随机性相关关系的是_.思路分析:两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.如水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.又如人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具备相关关系.而降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填.答案:绿色通道:一定要理解函数关系和相关关系的定义,前者是一种确定性的关系,后者是一种非确定性关系,但非确定性关系并不等于没有关系.函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.例2有时候一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比,第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.品牌所含热量的百分比口味记录a2589b3489c2080d1978e2675f2071g1965h2462i1960j1352(1)根据上表数据,制成散点图,你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗?(2)如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系;(3)如果一种食品所含热量百分比为30,请估计一下这种食品的口味值.思路分析:我们通常利用变量间的散点图来判断变量间的关系.如果所有点看上去都在一条直线附近波动,则变量间是线性相关;若在某条曲线附近波动,则称非线性相关;若没有显示任何关系,则称不相关.用计算机中的电子表格软件来作所需要的直线.解:(1)图1-7-1从散点图上可以看出,食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线,也就是说它们之间是线性相关的.(2)如图1-7-2,我们用一条直线近似地表示这种线性相关.图1-7-2(3)由图1-7-2,可以估计出所含热量为30%的食品口味值约为84.绿色通道:由散点图可以判断两个变量是否存在线性关系.散点图的制作可以利用计算机电子表格软件来完成.制散点图时,在第一列应输入x轴所表示的数据(热量的百分比),在第二列应输入y轴所表示的数据(口味值).在估值时,先确定横坐标,然后过这一点作x轴的垂线交直线于一点,过这一点作y轴的垂线,与y轴的交点就是所需估计值.由线性相关可以帮助我们解决在实际生活中碰到的一些具体问题,把实际问题数学化.同时还要从实践中不断提高分析数据的能力,我们往往借助于列表和作图来分析数据.例3在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg).施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出散点图;(2)判断是否具有相关关系.思路分析:由散点图即可分析是否具有线性相关关系.解:(1)散点图如图1-7-3所示.图1-7-3(2)由散点图知具有线性相关关系.问题探究问题怎样判断两个变量有没有相关关系?举例说明.导思:可以根据散点图来判断两个变量有没有线性关系.探究:在考虑两个变量的关系时,通常将变量所对应的点在直角坐标系中描出,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图叫做变量之间的散点图.散点图的特点是形象地体现了各对数据的密切程度.所以我们可以根据散点图来判断两个变量有没有线性关系.从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样近似的过程称为曲线拟合.若两个变量x和y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称变量间是线性相关的.此时,我们可以用一条直线来近似如图1-7-4(1).若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,则称此相关为非线性相关的.此时,可以用一条曲线来拟合如图1-7-4(2).图1-7-4所以我们根据散点图就可以判断两个变量之间的关系是线性相关还是非线性相关.例如,设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下:年收入x (万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3由上表数据,以年收入x的取值作为横坐标,把年饮食支出y的相应取值作为纵坐标,作出散点图.从图1-7-5中可以直观地看出家庭年收入和年饮食支出之间具有相关关系,并且当