高中数学 第五章 三个重要不等式 5.3 贝努力不等式的几个推论及应用素材 湘教版选修4-5.doc_第1页
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贝努利不等式的几个推论及应用贝努利不等式是： （，为正整数） （1）当为大于1的实数时贝努利不等式也成立为拓宽贝努利不等式的应用，本文给出了贝努利不等式的几个推论，并通过一些典型例题探讨了贝努利不等式及其推论的应用推论1 设，0，则有， （2）或， （）当且仅当时，（2）和（）取等号（2）的证明可由恒等式直接推出易见，当且仅当时，（2）和（）取等号，因此，当且仅当时，（1）取等号在（1）中令，则（1）可变为（2）或（）因此，不等式（1）与（2）或（）是等价的因此，不等式（1）与（2）或（）都可以称为贝努利不等式推论2 设，0，则， （3）当且仅当时，（3）取等号证明 由（2）得，由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（3）取等号推论3 设，0，则， （4）， （5）当且仅当时（4）和（5）取等号证明 由（2）得，由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（4）和（5）取等号推论4 设，0，则， （6）当且仅当时（6）取等号证明 由（2），得，所以 由（2）的等号成立的条件易知，当且仅当时（6）取等号不等式（1）（6）有广泛的应用，利用贝努利不等式和上面几个推论可以简捷明快地解决一些数学问题，请看下面几例例1（2007年高考数学湖北卷理科21题）已知，为正整数（）用数学归纳法证明：当时，；（）对于，已知，求证：，；（）求出满足等式的所有正整数解：（）证明从略 （）证明：当，时，由（1）得，于是，（）解：由（）知，当时，所以，即，即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形逐一检验可得，所求的只有例2（算术几何平均值不等式）设，均为正数，则 （7）证明 下面用数学归纳法证明（7）：当时，（2）变为，从而，所以（7）成立假设，则当时，由（3）知，即 ，从而，这表明，当时（7）也成立故对一切，（7）都成立由例2的证明可以看出，贝努利不等式是算术几何平均值不等式的一个充分条件，也就是说，凡是能用算术几何平均值不等式解决的问题都可以利用贝努利不等式予以解决，因此，贝努利不等式的应用是极为广泛的例3 设，0，求证：证明 由，并在（3）中取得例4 （权方和不等式）设，则 证明 令，则原不等式等价于1由（2），有=则，此即 注：权方和不等式的应用极广，已有多篇文章探讨例5 （第36届imo试题）设为正数，且满足试证 （8）证明 由知，（8）等价于 （9）由（4）及，得，所以（9）成立，故（8）成立例6 设，均为正数，求证：证明 由（6），及，得由于贝努利不等式的形式简单、内涵丰富、应用广泛，加之高
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