高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.4 向量数乘课堂导学案 新人教B版必修4.doc

2.1.4 向量数乘课堂导学三点剖析 一、向量数乘的概念及几何意义 1.对向量数乘定义的理解注意:a中的实数,叫做向量a的系数.关于对向量数乘a的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当|1)时,也可以缩小(当|0时),也可以改变向量a的方向(当0,2a与a同向,且|2a|=2|a|.(2)真命题.50,5a与a同向,且|5a|=5|a|.-20时,a与a同向,模是|a|的倍;0时,a与a反向,模是|a|的-倍;=0时,a=0.各个击破类题演练 1如图(1),已知非零向量a,求作向量2a,a,-3a,a.思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.作法:将向量a依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的倍,反向伸长到原来的3倍,反向缩短到原来的倍,得到图(2).变式提升 1已知点c在线段ab的延长线上,且.(1)用表示;(2)用表示.思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.解:如图,由已知,点c在线段ab的延长线上,且,解得ab=3bc.同理,可得ac=4cb.(1)如图,向量与的方向相同,所以=3.(2)如图,向量与的方向相反,所以=-4.温馨提示 确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小. 二、向量数乘的运算律及应用设,为实数,则(1)(+)a=a+a;(2)(a)=()a;(3)(a+b)=a+b(分配律).【例2】 设x,y为未知向量.(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;(2)解方程组解：(1)原方程可化为5x+5a+3x-3b=0,8x+5a-3b=0.8x=3b-5a.x=b-a.(2)2-得(x-2y)-(x-y)=2a-b,y=2a-b.y=b-a.代入得x=a+b-a,x=2a+b-a=b-a.类题演练 2化简下列各式:(1)(2a+8b)-(4a-2b);(2)(4a-3b)+b-(6a-7b).解:(1)原式=(a+4b-4a+2b)=(1-4)a+(4+2)b=(-3a+6b)=2b-a；(2)原式=(4a-3b+b-a+b)=(4-)a+(-3+)b=(a-b)=a-b.温馨提示(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.变式提升 2将2(2a+8b)-4(4a-2b)化简成最简式为( )a.2a-b b.2b-a c.a-b d.b-a思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.解:原式=(4a+16b-16a+8b)=(4-16)a+(16+8)b=-a+2b=2b-a.应选b.答案:b 三、向量的线性运算 向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示,如2a,-3a,-a都是a的线性表示,2a+3b,-3a+5b,a-b等都可以由a,b线性表示.【例3】 梯形abcd(如图)中,abcd且ab=2cd,m、n分别是dc与ab的中点.若=a,=b,试用a,b表示和.解法一:连结cn,n为ab中点.andc,an=dc,ancd为平行四边形.有=-b.又=0,=b-a.=+=a-b.解法二:梯形abcd中,有+=0,即a+(-a)+(-b)=0.可得=b-a.在四边形admn中,=0,即b+a+(-a)=0.=a-b.温馨提示 解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为0的结论.类题演练 3如图所示,abc的重心为g,o为坐标原点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示.解:如图,设ag交bc于点m,则m是bc的中点.=b-a,=c-a,=c-b,=+=b-a+(c-b)=(c+b-2a),=(c+b-2a),所以=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).变式提升 3证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.思路分析:数学语言分为三种形式:文字语言,符号语言,图形语言.解答用文字语言给出的数学问题,必须用符号语言写出已知,求(求证),然后再去解(证明),这是规矩.已知:如图,de是abc的中位线.求证:debc.证明:如图,非零