高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修4.doc

2.6平面向量数量积的坐标表示学习目标重点难点1掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算2能运用数量积表示两个向量的夹角、会用数量积判断两个向量的垂直关系3能运用所学知识解决有关综合问题，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想.重点：平面向量数量积的坐标表示及运算，求向量的模、夹角，以及垂直条件的应用难点：活用平面向量数量积的坐标运算解决垂直、夹角等问题疑点：用坐标表示的两个向量平行与垂直的条件有什么差别.1平面向量数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则(1)ab_；(2)|a|_；(3)若ab，则_；(4)cos _.预习交流1与向量a(a1，a2)同方向的单位向量的坐标如何表示？预习交流2两向量平行与垂直的坐标表示是否相同？预习交流3(1)设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()a|a|b| babcab dab与b垂直(2)设a(1,2)，b(2，1)，则|a|_，(ab)(ab)_.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量预习交流4若直线l的方向向量为(a1，a2)，其中a10，那么直线l的斜率k是什么？答案：1(1)x1x2y1y2(2)(3)x1x2y1y20(4)预习交流1：提示：由于单位向量a0，且|a|.所以a0(a1，a2).此为与向量a(a1，a2)同向的单位向量的坐标预习交流2：提示：不同设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab，则x1y2x2y10.ab，则x1x2y1y20.预习交流3：(1)d解析：|a|1，|b|；ab10；(ab)bab|b|20，故ab与b垂直(2)(4，4)预习交流4：k.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1平面向量数量积的坐标运算(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()a6 b5 c4 d3(2)已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：向量a的坐标；若c(2，1)，求(ac)b.思路分析：(1)首先求出8ab，再利用数量积坐标运算建立方程求x；(2)根据a与b共线将a坐标设出，再利用数量积坐标运算公式构建方程求得a的坐标，进而求(ac)b.1已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么ab的值为()a1 b2 c3 d42a(4,3)，b(5,6)，则3|a|24ab等于()a23 b57 c63 d83向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程、函数等知识联系2向量垂直条件的应用在abc中，(2,3)，(1，k)，且abc中有一个内角为直角，求k的值思路分析：要求k的值，就要利用两向量垂直的条件，而本题中未给出哪个角是直角，故需分类讨论平面内三点a，b，c在一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，若，求实数m，n的值两向量互相垂直，则其数量积为零，据此可以建立关于未知数的方程，从而求解3向量的夹角问题已知abc顶点的坐标分别为a(3,4)，b(0,0)，c(c,0)(1)若c5，求cos a的值；(2)若a是钝角，求c的取值范围思路分析：(1)求，|，|，计算cos a；(2)利用0求c的取值范围，需验证，反向的特殊情形1若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()a b. c. d.2已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，求a与c的夹角1.利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积(2)利用|a|计算出这两个向量的模(3)由公式cos 直接求出cos 的值(4)在0内，由cos 的值求角.2由cos 去判断的取值有五种情况(1)cos 1，0；(2)cos 0，90；(3)cos 1，180；(4)cos 0且cos 1，为钝角；(5)cos 0且cos 1，为锐角4综合创新问题定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()a若a与b共线，则ab0babbac对任意的r，有(a)b(ab)d(ab)2(ab)2|a|2|b|2思路分析：本题是一道信息迁移题，需根据ab的定义，对每一个选项进行分析定义一种新运算ab|a|b|sin ，其中为a与b的夹角，已知a(，1)，b，则ab_.“定义一种新运算、新概念、新名词”已成为一种常见的创新构造模式，解决这类题目只需对定义部分直接进行翻译，运用学过的知识，对给出的信息加以理解、剖析，进行解答即可答案：活动与探究1：(1)c解析：8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，由(8ab)c30，得633x30，x4.(2)解：a与b同向，且b(1,2)，ab(，2)(0)又ab10，410，2，a(2,4)ac22(1)40，(ac)b0b0.迁移与应用：1.d解析：ab与a共线，aba，即(12，k2)(1，k)由解得故a(1,1)，则ab12124.2d解析：|a|5，ab20182，3|a|24ab3254(2)83.活动与探究2：解：在abc中，(1)当a90时，0，213k0，k.(2)当b90时，0，(12，k3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，k.(3)当c90时，0，1k(k3)0，k或k.满足题意的k的值为，.迁移与应用：解：因为a，b，c三点共线，所以与共线设(r)，又(2，m)，(n,1)，(5，1)，所以(7，1m)，(n2,1m)，所以(7，1m)(n2,1m)，故有得mnn5m90，又，所以2nm0.式联立得或所以m6，n3或m3，n.活动与探究3：解：(1)(3，4)，(c3，4)，当c5时，(2，4)，cos a.(2)若a 为钝角，则3(c3)(4)20，解得c.显然此时有ab和ac不共线，故当a为钝角时，c的取值范围为.迁移与应用：1.c解析：由于2ab(3,3)，ab(0,3)，所以cos2ab，ab，故2ab与ab的夹角为.2解：依题意ab(1，2)，|a|，设c(x，y)，而(ab)c，x2y.设a与c的夹角为，则cos ，a与c的夹角为120.活动与探究4：b解析：对于选项a：若a与b共线，则mqnp0，而abmqnp0，选项a正确；对于选项b：abmqnp，bapnqm，abba，选项b不正确；对于选项c：(a)b(m，n)(p，q)mqnp(mqnp)(ab)，选项c正确；对于选项d：(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2m2q22mqnpn2p2m2p22mpnqn2q2m2(p2q2)n2(p2q2)(p2q2)(m2n2)|a|2|b|2，选项d正确迁移与应用：解析：|a|2，|b|，ab，cos ，150.ab|a|b|sin 2sin 150.1已知a(3,4)，b(5,2)，则ab()a23 b7 c23 d72平面向量a与b的夹角为120，a(2,0)，|b|1，则|ab|()a3 b. c7 d.3a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()a. b c. d4直线l1：x2y30和直线l2：x3y10的夹角_.5在平面上建立直角坐标系，o是原点，已知点a(16,12)，b(5,15)(1)求|，|；(2)求oab.答案：1d解析：ab35427.2b解析：|a|2，|ab|.3c解析：b(2ab)2a(3,18)(8,6)(5,12)，