（试题 试卷 真题）第18讲： 综合性问题【58页】

第18讲： 综合性问题一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】1.（重庆市2001年4分）已知，在ABC中，C90，斜边长为，两直角边的长分别是关于x的方程x23（m）x9m0的两个根，则ABC的内切圆面积是【 】A4 B C D2. （2005年北京市4分）如下图，在平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是【 】3. （2006年北京市大纲4分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=1，AB=，BC=2，P是BC边上的一个动点(点P与点B不重合)，DEAP于点E。设AP=x，DE=y。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是【 】【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据条件可以知道，ABPDEA，即：。，y与x成反比例函数关系，且AP=x大于AB，并且不大于AC。根据勾股定理得到AC=，x。故选B。4. （重庆市2006年4分）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为【 】 A. B. C. D. 5. （天津市2008年3分）在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且ABC为直角三角形，则满足条件的点C有【 】 A1个B2个C3个D4个【答案】D。来源:学|科|网【考点】一次函数综合题，圆周勾股定理理，勾股定理。 6. （上海市2008年组4分）如图，在平行四边形中，如果，那么等于【 】ABCD【答案】B。【考点】向量的几何意义。【分析】根据向量的意义，。故选B。7. （天津市2010年3分）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：； 其中，正确结论的个数是【 】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二次函数的图象与轴有两个交点，。所以正确。8. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有实数根x1,x2，且x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；二次函数y=（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C。【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】一元二次方程实数根分别为x1、x2，x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2）（x3）=m化为一般形式得：x25x6m=0，方程有两个不相等的实数根x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，9.（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】【答案】A。10.（2013年天津市3分）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=SABP；当点P与点A重合时，y=0其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为【】A0 B1 C2 D311. （2013年重庆市B4分）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A。C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，NDx轴，垂足为D，连接OM、ON、MN。下列结论：OCNOAM；ON=MN； 四边形DAMN与MON面积相等；若MON=450，MN=2，则点C的坐标为。其中正确的个数是【 】A1 B2 C3 D4【答案】C。【考点】正方形的性质，反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，数形结合思想和转换思想的应用。归江苏泰州锦元数学工作室所有二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】1. （天津市2009年3分）如图，有一个边长为5的正方形纸片，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得的值可以是 （写出一组即可）；请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：_【答案】3、4。裁剪线如图所示（红线）：图中的点E是以AB为直径的半圆上的任意一点（点A、B除外），连接BE并延长交DA于点F；过点C作CGBF，垂足为点G；过点F作FHAB，交BC于点H；过点H作HICG，垂足为点I。则裁剪线为BF、AE、CG、HI。其中AE和BE即为两个小正方形的边长。由于点E是以AB为直径的半圆上的任意一点（点A、B除外），从而该裁剪方法具有一般性。三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】1. （2001上海市12分）已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）【答案】解：（1）ABCD是梯形，ADBC，AB=DC。A=D。ABP+APB+A=180，APB+DPC+BPC=180，BPC=A。（2）与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式。2. （重庆市2001年10分）如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，C是y轴上的一点ACB90，CAB30，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，）（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式【答案】解：（1）由题意得OC=4。ACB=90，CAB=30，OA=4，A（4，0）。同理可得B（，0）。设二次函数解析式为，【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）利用三角函数易得OA，OB长，得到A，B坐标，运用待定系数法求二次函数解析式。（2）连接OE，作EMx轴于点M利用三角函数可得点E坐标，同法求得F坐标，代入一次函数解析式即可。3. （上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数的图象经过点A、B，与轴相交于点C。 （1）、的符号之间有何关系？ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果4，AB，求、的值。是否为倒数关系。（3）沿用（2）的思路，首先将值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何、的倒数关系，即可求得、的值。 4. （上海市2003年12分）如图，在正方形ABCD中，AB1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点： （1）当DEF45时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AEx，FCy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得DEF，如图，当EF时，讨论ADD与EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：EDFED1F，EFDD1且DH=D1H。来源:学_科_网Z_X_X_K5. （2004年北京市8分）已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)任作一条与抛物线yax2(a0)交于两点的直线，设交点分别为A、B若AOB90， 判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； 确定抛物线yax2(a0)的解析式； 当AOB的面积为时，求直线AB的解析式A、B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质。的面积，然后根据韦达定理和三角形AOB的面积即可求出k的值也就求出了直线AB的解析式。6. （天津市2005年10分）在ABC中，A、B、C所对的边分别用a、b、c表示。（）如图，在ABC中，A2B，且A60。求证：a2b（bc）（）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中A2B，关系式a2b（bc）是否仍然成了？并证明你的结论；（）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。【答案】解：（）证明：A=2B，A=60，B=30，C=90。c=2b，a=b【考点】勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据已知可求得各角的度数，再根据三角函数求得各边的关系，从而不难得到结论。（）延长BA至点D，使AD=AC= b，连接CD，证出ACDCBD，根据相似三角形对应边成比例的性质得到结论。（）注意分三种情况进行分析。 7. （天津市2005年10分）已知二次函数yax2bxc. （）若a2，c3，且二次函数的图象经过点（1，2），求b的值（）若a2，bc2，bc，且二次函数的图象经过点（p，2），求证：b0；（）若abc0，abc，且二次函数的图象经过点（q，a），试问自变量xq4时，二次函数yax2bxc所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论。当x=q4时，y=a（q4）2b（q4）c=（aq2bqca）8aq15a4b=8aq15a4b，若，则y=8a15a4b=15a4。ab0，。-。等知识解题。8. （上海市2005年10分）小明家使用的是分时电表，按平时段（6：0022：00）和谷时段（22：00次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表）月用电量（度）电费（元）1月9051.802月9250.853月9849.244月10548.555月根据上述信息，解答下列问题：（2） 计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表中；（3） 小明家这5个月的月平均用电量为度；（4） 小明家这5个月的月平均用电量呈趋势（选择“上升”或“下降”）；5个月每月电费呈趋势（选择“上升”或“下降”）；（5） 小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.9. （上海市2005年12分）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EPED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1） 如图，求证：ADEAEP；（2） 设OAx，APy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 当BF1时，求线段AP的长. 情况1：当点B在CF上，y=，BP=4AP=4， PBFPED，。 又ADEAEP，。10. （重庆市大纲卷2005年10分）已知抛物线与轴交于A、B两点，且点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上。（1）求实数的取值范围；（2）设OA、OB的长分别为、，且15，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以AB为直径的D与轴的正半轴交于P点，过P点作D的切线交轴于E点，求点E的坐标。【分析】（1）由于A、B分别在x轴的正负半轴上，由此可得出A、B两点横坐标的积应该是负数，即0，由此可得出k的取值范围。（2）根据OA、OB的比例关系设出A、B两点的横坐标（要注意A点在负半轴上），然后根据根与系数的关系即可得出一个关于k的方程组，进而可求出k的值，也就求出了抛物线的解析式。（3）求E点的坐标就是求OE的长，已知了A、B的坐标可求出D的坐标，以及圆D的半径长，如果连接DP，在直角三角形OPE中，可用射影定理得出DP2=ODDE，即r2=ODDE，由此可求出DE的长，已知D的坐标，可据此求出E的坐标。11. （重庆市课标卷2005年10分）如图,五边形ABCDE为一块土地的示意图四边形AFDE为矩形,AE=130米，ED=100米，BC截F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由（2）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置。由题意，得费以此来列出不等式，求出自变量的取值范围。来源:学*科*网Z*X*X*K12. （2006年北京市大纲9分）已知：抛物线y=x2+mx+2m2(m0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点(点C与点A、B不重合)，D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E。（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求的值；（3）当C、A两点到y轴的距离相等，且时，求抛物线和直线BE的解析式。（3）连接OE，D是OC的中点，SOCE=2SCED。，SAOC=5SCED=8，m3=8，、解得m=2。抛物线的解析式为y=-x2+2x+8，点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（4，0）。分别过点D、C作x轴的垂线，交x轴于点M、N，（2）中AE、CE的比例关系得出CED与AOC的面积比，从而可求出AOC的面积，根据A、C两点的坐标即可表示出三角形AOC的面积，由此可确定m的值即可得出A、C、B的坐标也就能求出D点的坐标，然后根据B、D的坐标用待定系数法求出直线BE的解析式。13. （天津市2006年10分）已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2,4). （）试用含a的代数式分别表示b，c； （）若直线ykx4（k0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（）在（）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。由已知，得，即，或。（）根据E、F的坐标，运用勾股定理表示出m。根据根与系数的关系和m的取值范围来求出a的取值范围。14. （重庆市2007年10分）我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种ABC每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获利（百元）121610（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为求与之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值【答案】解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，那么装运C种脐橙的车辆数为，则有：，整理得：。与之间的函数关系式为。利润为14.08万元。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）根据“组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨”列出等式，变形即可。 （2）根据“每种脐橙的车辆数都不少于4辆”列出不等式组求解即可。 （3）求出利润关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可。15. （上海市2008年14分）已知，（如图）是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长（4分）；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长（5分） 16. （重庆市2008年10分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？78吨，运往E县22吨；【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可。（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可。（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用。17. （天津市2009年10分）已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上（）若，求函数的解析式；（）在（）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由根据题意，即。当时，解得；式。（）关键在于明确这一等量关系才能求得的值。（）比较的大小需要正确理解及在整式变形中分类应用。 18. （上海市2009年12分）在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径 （3）设圆O的半径为， 情况1：时，由P，D两点坐标得，。 可。19. （重庆市2009年10分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量3.9万台4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）（参考数据：，）【答案】解：（1）设p与x的函数关系为，二次函数的性质。【分析】（1）应用待定系数法求出p与x的函数关系式，再根据题意列出月销售金额关于x的函数关系式，应用二次函数的最值原理求出所求。 （2）根据列出方程求解即可。20. （上海市2010年14分）如图，在RtABC中，ACB90.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.来源:学_科_网 过D点作DQAC于点Q，则DQEPCE。 和求得。 在RtADQ中，根据据勾股定理得，从而求得AQ=，DQ=。由ADQABC，根据相似三角形的性质得，从而得到，即可求得y关于x的函数关系式。21. （重庆市2010年10分）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数x1234价格y（元/千克）22.22.42.6进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y x2bxc.（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为mx2试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值（参考数据：3721369，3821444，3921521，4021600，4121681）【答案】解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8。把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y x2bxc得和x=2，y=2.4，分别代入y x2bxc可求b、c的值，确定二次函数解析式。（2）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润。（3）根据增长率的公式，列出方程求解即可。22. （上海市2011年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图 像与轴交于点A，