高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课后导练 新人教A版选修23.doc

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课后导练基础达标1.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（ ）a.1 b.-1 c.0 d.2解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-)4.两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+)4(2-)4=1,故选a.2.若(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn中，a3=a12，则自然数n的值为( )a.13 b.14 c.15 d.16答案：c3.若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+a200 6x200 6(xr)则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ +(a0+a200 6）=(用数字作答).解析：取x=0,得a0=1;取x=1,得a0+a1+a2+a200 6=(1-2)200 6=1.故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ +(a0+a200 6)=200 6a0+(a0+a1+a2+a200 6）=200 6+1=200 7.4.若(x+1)n=xn+ax3+bx2+cx+1(nn*)，且ab=31，那么n=_.解析：ab=31，n=11.答案：115.在二项式(ax m+bxn)12(a0,b0,m、n0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.(1)求它是第几项；(2)求的范围.解析：(1)设tr+1=(axm)12-r(bxn)r=a12-rbrxm(12-r)+nr为常数项，则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,r=4,它是第5项.(2)第5项又是系数最大的项，有由得,a0,b0，ba,即.由得，.综合运用6.二项式(x-)10的展开式，系数最大的项为( )a.第六项 b.第五项和第六项c.第五项和第七项 d.第六项和第七项解析：先求二项展开式的通项为tr+1=()r=(-1)r，则此项系数为(-1)r，故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为，但第六项系数为-，显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为=，再由二项式系数的增减性规律可知，即为最大值，因此正确选项为c.答案：c7.已知(x-)8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )a.28 b.38 c.1或38 d.1或28解析：tr+1=x8-r(-ax-1)r=(-a)rx8-2r.令8-2r=0,r=4.(-a)4=1 120.a=2.当a=2时，令x=1，则(1-2)8=1.当a=-2时，令x=-1,则(-1-2)8=38答案：c8.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)n=a0+a1x+anxn,若a1+a2+an-1=29-n(nn，n1),那么(1+y)6的展开式中含yn项的系数是_.答案:159.已知()8,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最小的项.解析:设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值.则有5r6.故系数绝对值最大项是第六项与第七项.t6=(-1)5()3()5=-1 792，t7=(-1) 6()2()6=1 792x-11，则系数最大项为1 792x-11，系数最小项为-1 792.拓展探究10.已知数列an是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)求和：a1-a2+a3，a1-a2+a3-a4；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.解析：(1)a1-a2+a3=a1-a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1-a2+a3-a4=a1-a1q+a1q2-a1q3=a1(1-q)3.(2)结论是：a1-a2+a3-+(-1)nan+1=a1(1-q)n.证明如下：左边=a1-a1q+a1q2-+(-1)na1qn=a1-q+q2-+(-1)nqn=a1(1-q)n=右边.备选习题11.已知(a+b)n的展开式各项的二项式系数之和为8 192，则(a-b)2n的展开式中共有( )a.13项 b.14项 c.26项 d.27项解析：由2n=8 192得n=13,(a-b)2n有27项答案：d12.(经典回放)已知()n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_.(以数字作答)解析:()n的展开式中各项系数和为128，令x=1,即得所有项系数和为2n=128.n=7.设该二项展开式中的r+1项为tr+1= ()7-r()r=,令=5即r=3时，x5项的系数为=35.答案：3513.如图所求，在杨辉三角中，斜线ab上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列的前n项和为s(n)，则s(16)_.解析：由题意得s(16)=+=(+)+(+ +)=(+)+( +)-1=+-1=164.14.求和sn=-+(-1)n.解析：由=及+=,有sn=1-(+)+(+)+(-1)n-1()+(-1)n=sn-1-+-+（-1）n=sn-1+-+(-1)n=sn-1+(1-1)- (1-)+(-1)n(1-)=sn-1+(1-1)n-分 snsn=sn-1，用迭代法，有sn=15.设a0,a1,a2, ，an成等差数列，求证：a0+a1+a2+ak+an=(a0+an)2n-1.证明：设sn=a0+a1+a2+an= (k=0,1,2, ，n)sn=an+an-1+an-2+a0两式相加得：2sn= (a0+an)+ (a1+an-1)+ (a2+an-2)+ +(an+a0)a0+an=a1+an-1=an+a02sn=(a0+an)( +)=(a0+an)2nsn=(a0+an)2n-1.16.在()n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.解析：由题意得：, , 成等差数列，2