高数教案_函数极限.doc

课 题: 函数极限 目的要求： 了解,时函数有极限的概念 掌握函数极限的充要条件 掌握函数极限的性质 进一步掌握极限的定义 教学重点： 函数极限定义与应用 教学难点： 函数极限定义与应用 教学课时：2 教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n趋于无穷大.现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.一，时函数的极限时或时函数的极限：设f (x)在(M, +) （或(-,-M)内有定义, 若e 0, $X 0, 当xX (或x-X)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)-a |0, $X 0, 当xX (或x-X) 时, 有|f (x)-a |0, $正整数N, 使得当nN 时, 都有|xn-a|0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.例： 由图可知： ； 类似于：1/N-0(N-)由图可知 例， 证明：证： 由于 ，故 ，要使 ，只要 ，即，因此，, 可取 ，则当xX时， ，故由定义得： 练习：证明：注：xlg，可取X= |lg|+1，当x 0), 都存在X 0. 当 x X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 时：按定义,作直线 y = ae. (e 0), 存在X 0. 当 | x | X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = ae 之间. 由定义1，2，3知：定理1 的充要条件是=练习：证 解：方法一,=，方法二，要使|1/x|1/，取X=1/即可练习：证明 二，时函数的极限 引例 从函数图形特征观察函数的极限如上图左：当时，无限接近；如上图右：当时，无限接近于 函数与是两个不同的函数，前者在处有定义，后者在处无定义这就是说，当时，的极限是否存在与其在处是否有定义无关 邻域的概念：开区间（，）称为以 为中心，以 （）为半径的邻域，简称为点x的邻域，记为U（x，）用表示的去心邻域，即定义设函数f（x）在 的某一去心邻域内有定义，如果当自变量x在内即时无限接近于时，相应的函数值f（x）无限接近于常数A，则A为时函数的极限，记作或精确定义:若，当时，有，则称为当时的极限.记作：或（）注1. 与数列极限定义比较:将“ xn=f (n)”换成f (x),将“ N”换成“ d 0”,将“ nN” 换成 “ 0|x-x0|N” 表示了n充分大这一意思. 而x x0, 用“ 0|x-x0|d ” 表示了这一意思.注2. 定义中“ 0|x-x0|0, $d 0. 当0xx0d (或0 x0 x d ) 时，有: ，则称a为f (x)当xx0的右极限(或左极限), 记作:由该定义知,讨论函数在处的左极限时，在自变量 无限接近于的过程中，恒有 ,于是有 .定理2 的充要条件是即，f (x)在点x0处的极限存在的充要条件是f (x)在x0的左、右极限存在，并且相等。如： 反之亦成立。例： 设画出该函数的图形，并讨论，是否存在 解 的图形如下图左所示，由该图不难看出： ；. 例： 设 (通常称 为符号函数)，画图讨论 是否存在 解 函数的图形如上图右所示，不难看出；不存在.练习：设f(x)= 研究 练习：设f(x)= 研究函数极限的性质：性质1 (惟一性) 若，则.性质2 (有界性) 若，则存在 的某一空心邻域，在内函数有界 性质