高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5.doc

2.1.1数列1理解数列的概念，了解数列的几种分类2了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列的通项公式3了解数列与函数的关系1数列的有关概念(1)数列的定义：按照_排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的_(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，此数列可简记作an，其中数列的第n项记作_，这里an是数列的简记符号，并不表示一个集合关于定义的理解，应注意以下几点：数列的项与项的序号是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别例如，2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而2,3,4,5,6中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合数列a1，a2，an，不可以写成a1，a2，an的形式，但是可以简记为an【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是_2数列的通项公式如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_(1)数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示；(2)不是所有的数列都有通项公式，如果有，则不唯一【做一做2】下列解析式中不是数列1，1,1，1，的通项公式的是()aan(1)nban(1)n1can(1)n1dan3数列与函数的关系在数列an中，对于每一个正整数n(或n1,2，k)，都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成以_(或它的有限子集1,2，k)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照_的顺序依次取值时，所对应的一列函数值反过来，对于函数yf(x)，如果f(i)(i1,2,3，)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，.其图象是一系列孤立的点(1)数列an与函数f(n)an(nn)是不同的，an中的元素具有有序性，如将a1，a2，a3，an排成a3，a1，a2，an，则为不同的数列，而对于函数f(n)an(nn)来说却是一样的(2)数列中，自变量的取值更有规律性，必须从小到大取正整数【做一做31】下列说法不正确的是()a数列可以用图象来表示b数列的通项公式不唯一c数列中的项不能相等d数列可以用一群孤立的点表示【做一做32】数列an的通项公式anf(n)，作为函数，它的定义域是()a正整数集nb自然数集nc正整数集n或n的任一子集d正整数集n或其有限子集1,2,3，n4数列的分类(1)按项的个数分类类别含义_数列项数有限的数列_数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第二项起，每一项_它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项_它的前一项的数列常数列各项都_的数列【做一做4】已知下列数列：2 000,2 004,2 008,2 012；0，；1，；1，；1,0，1，sin ，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_一、对数列通项公式的理解剖析：一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式anf(n)来表示，则这个公式叫做这个数列的通项公式数列的通项公式的作用在于：当用序号代替通项公式中的n时，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值构成的数列，即3，3.1，3.14,3.141，就没有通项公式(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列1，1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成ansin(nn)等等(3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段函数的形式表达，如数列1,1，1,1，的通项公式还可以写成an(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合(2)数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式从函数的思想看，就是函数值an与自变量n的等量关系式利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目就是用函数的思想求函数的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式(提示：先定义一个在(0，)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如an，an5等均满足条件题型一 数列的概念【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1)1,5,2,3,6,7；(2)方程x(x1)(x2)(x3)(x4)0的解；(3)f(x)x2x2的函数值f(1)，f(0)，f(1)，f(2)；(4)当x1时，x，x1，x2，x2,2x的值；(5)3,1,1,x,5,7,y,11.分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的题型二 根据通项公式求项【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项(1)an；(2)an3n2n.分析：已知数列的通项公式，依次用1,2,3，代替公式中的n，便可以求出数列的各项反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值题型三 由数列的前几项写通项公式【例3】分别写出下列数列的一个通项公式：(1)1，3，5，7，9，；(2)4，2，；(3)5,55,555,5 555，；(4)1,1，.分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可反思：常见数列的通项公式如下：数列1,1,1,1，的通项公式是an(1)n；数列1,2,3,4，的通项公式是ann；数列1,3,5,7，的通项公式是an2n1；数列2,4,6,8，的通项公式是an2n；数列1,2,4,8，的通项公式是an2n1；数列1,4,9,16，的通项公式是ann2；数列，的通项公式是an.题型四 判断数列的增减性【例4】已知函数f(x)x.数列an满足f(an)2n，且an0.(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的增减性分析：先根据已知条件解方程求an，然后利用作差或作商法判断数列an的增减性反思：数列an增减性的判定方法：(1)作差比较法若an1an0恒成立，则数列an是递增数列；若an1an0恒成立，则数列an是递减数列；若an1an0恒成立，则数列an是常数列(2)作商比较法1011an0递增数列递减数列常数列an0递减数列递增数列常数列题型五 数列与函数的联系【例5】设函数f(x)log2xlogx4(0x1)，数列an的通项an满足(nn)(1)求数列an的通项公式(2)数列an中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由分析：第(1)问可用代入法求得an的关系式，再通过解方程求得an.第(2)问可利用函数的单调性来判断反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集1,2，3，n)上的函数，判断数列随n增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同题型六 易错辨析【例6】已知在数列an中，ann2kn(nn)，且an单调递增，则k的取值范围是()a(，2 b(，3)c(，2) d(，3错解：因为an是关于n的二次函数，其定义域为正整数集，故若an递增，则必有1，故k2.故选a错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集n(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an1与an的大小来判断：若an1an，则数列为递增数列；若an1an，则数列为递减数列1在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34，中，x的值是()a19 b20 c21 d222已知数列an的通项公式是ann27n9，则其第3项，第4项分别是()a21,23 b21,25c21,21 d以上选项都不对3以下四个数中，哪个数是数列n(n1)中的一项()a380 b39 c32 d234已知1,7，13,19，则这个数列的通项公式为_5数列an的通项公式为an，则是此数列的第_项答案：基础知识梳理1(1)一定次序项(2)an【做一做1】2序号n通项公式【做一做2】a令n1，在an(1)n1中，a1(1)111，同样在 an(1)n1，an中均有a11，符合题意而在an(1)n中， a1(1)11，不符合题意，故选a.3正整数n从小到大【做一做31】c数列中的项可以相等【做一做32】d4(1)有穷无穷(2)大于小于相等【做一做4】典型例题领悟【例1】解：(1)1,5,2,3,6,7表示的是一个数集，而不是数列；(2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列；(3)f(1)，f(0)，f(1)，f(2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x1时，x，x1，x2，x2,2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列；(5)当x，y表示数时为数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列【例2】解：(1)在通项公式an中，依次取n1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1，a2，a3，a4，a5.(2)在通项公式an3n2n中，依次取n1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a131215，a2322210，a3332317，a4342428，a5352547.【例3】解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1,3,5,7,9，为奇数，分数的分子是1,2,3,4,5，正好是序号，分母是4,9,16,25,36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为an(1)n(2n1)(2)将数列前4项改写成分数的形式：，可得该数列的通项公式an(1)n1.(3)由于9,99,999,9 999，的通项公式是10n1，所以将题中数列各项改写可得：59,5599,555999,5 5559 999，可得该数列的通项公式an(10n1)(4)原数列可写成：，得该数列的通项公式为an.【例4】解：(1)f(x)x，f(an)2n，an2n，即a2nan10，解得ann，an0，ann.(2)解法一(作差法)：an1an(n1)(n)111，又n1，n，1.an1an0，即an1an.数列an是递减数列解法二(作商法)：an0，1.an1an.数列an是递减数列【例5】解：(1)由已知，得log22anlog2an42n，即an2n，即a2nan 20，解得ann.又0x1，02an1.故an0(nn)，ann(nn)(2)有1，又an0，an1an(nn)，即a1a2a3anan1.数列的最小项为第1项，a11.【