高中数学 1.2 圆的进一步认识 1.2.4 圆内接四边形知识导航学案 苏教版选修41.doc

1.2.4 圆内接四边形自主整理1.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补.2.圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.3.若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆.特别的，对定线段张角为直角的点共圆.高手笔记1.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.2.圆内接四边形的判定定理（1）定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.（2）符号语言表述：在四边形abcd中，如果b+d=180，那么四边形abcd内接于圆.（3）证明思路：要证明四边形abcd内接于圆，就是要证明a、b、c、d四点在同一个圆上.根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过a、b、c、d中的任意三个点，譬如a、b、c三点作一个圆，再证明第四个点d也在这个圆上就可以了.但是直接证明点d在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点d不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点d不在圆上是错误的，因此点d只能在圆上.由于点d不在圆上时，可能出现点d在圆外和点d在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点d在圆内的情况.假设点d在圆内，若作出对角线bd，设bd和圆交于d，连结ad、cd，则abcd为圆内接四边形（如图1.2-103），则abc+adc=180.另一方面，因为adb、bdc分别是add和cdd的外角，所以有adbadb,bdcbdc,于是有adcadc.因为已知abc+adc=180,所以abc+adc180，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点d不能在圆内.用类似的方法也可以证明点d也不能在圆外.因此点d在圆上，即四边形abcd内接于圆.3.判定四点共圆的方法（1）如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆.（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（4）如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆（因为四个顶点与斜边中点距离相等）.名师解惑圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？剖析:反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木，推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不止一种），如在上述定理证明中，假设点d不在圆上，则有点d在圆外和点d在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点d在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.讲练互动【例1】如图1.2-104，已知abcd为平行四边形，过点a和b的圆与ad、bc分别交于e、f.求证：c、d、e、f四点共圆.图1.2-104分析：连结ef.由b+aef=180，b+c=180，可得aef=c.证明：连结ef.abcd为平行四边形，b+c=180.a、b、f、e内接于圆，b+aef=180.aef=c.c、d、e、f四点共圆.绿色通道 要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.变试训练1.圆内接四边形abcd中，a、b、c的度数的比是327，求四边形各内角的度数.解:由于四边形abcd是圆内接四边形，故a+c=b+d=180.又a:b:c=3:2:7，a=180(3+7)3=54.c=180-54=126.于是b=54=36，d=180-36=144.【例2】如图1.2-105两圆相交于a、b，过a作两直线分别交两圆于c、d和e、f.若eab=dab.求证：cd=ef.图1.2-105分析：要证cd=ef，只需证明cbdebf即可.从图1.2105可以看出，c=e，d=f，因此，尚需找一条对应边相等即可.比如，能否推出bc=be呢？要证bc=be，只需ceb=ecb，有无可能呢？可以发现，ecb=1，又已知1=2，所以，只需证2=ceb即可，这时我们发现，a、b、e、c是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角2与它的内对角ceb当然相等.至此，思路完全沟通.证明：四边形abec为圆内接四边形，2=ceb.又1=ecb,且1=2,ceb=ecb.bc=be.在cbd与ebf中，c=e，d=f，bc=be，cbdebf.cd=ef.绿色通道 利用圆内接四边形性质，直接写出2=ceb，简化了通过弧与角的计算推证2=ceb的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.变试训练2.如图1.2-106，o1与o2为两个等圆，m为o1o2中点，过m的直线分别交o1与o2于a、b、c、d.求证：ab=cd.图1.2-106证明:过o1作o1eab，过o2作o2fcd.1=2,o1em=o2fm=90.又m为o1o2中点，o1m=o2m.o1emo2fm,o1e=o2f.又o1与o2是等圆，ab=cd.【例3】如图1.2-107,o1和o2都经过a、b两点，经过点a的直线cd与o1交于点c，与o2交于点d.经过点b的直线ef与o1交于点e，与o2交于点f.求证：cedf.图1.2-107分析：要证明cedf.考虑证明同位角（或内错角）相等或同旁内角互补.由于ce、df分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结ab，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系.证明：连结ab，则四边形abfd和abec都是圆内接四边形.于是d+abf=180c+abe=180又abe+abf=180+-得c+d=180cedf.绿色通道 （1）本题也可以利用“同位角相等或内错角相等，两直线平行”来证明.如延长ef至g，因为dfg=bad，而bad=e，所以dfg=e.（2）本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质，导出角之间的关系.变试训练3.在锐角abc中，bd、ce分别是边ac、ab上的高线，dgce于g，efbd于f.求证：fgbc.分析:证fgbc，只需证dfg=dbc即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路.证明:如图，由于rtbce与rtbcd共斜边bc，所以b、c、d、e四点共圆.由同弧上的圆周角，有dbc=deg.同理，rtedf与rtdge共斜边de，所以d、e、f、g四点共圆.于是，deg=dfg.因此，dbc=dfg.于是fgbc.【例4】如图1.2-108所示，在abc中，ab=ac，延长ca到p，再延长ab到q，使得ap=bq.求证：abc的外心o与a、p、q四点共圆.图1.2-108分析：要证o、a、p、q四点共圆，只需证cpo=aqo即可，为此，只要证cpoaqo即可.证明：连结oa、oc、op、oq.在ocp和oaq中，oc=oa，由已知ca=ab，ap=bq，cp=aq.又o是abc的外心，ocp=oac.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，oac=oaq，从而ocp=oaq.ocpoaq.cpo=aqo.o、a、p、q四点共圆.绿色通道 本题也可证oapobq得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.变试训练4.如图1.2-109,在abc中，ab=ac，bd是ac边上的中线，adb的平分线交ab于e，aed的外接圆交bd于n，求证：bn=2ae.图1.2-109证明:连结en，de平分adb1=2=【例5】如图1.2-110所示.在半径为1的o中，引两条互相垂直的直径ae和bf，在上取点c，弦ac交bf于p，弦cb交ae于q.证明四边形apqb的面积是1.图1.2-110分析：由已知条件可以证明四边形abef是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而abd的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明s四边形apqb=sabd，即证sbpd=sbpq，即证dqpb.因为bpae，所以，只需证dqae.证明：ae、bf为互相垂直的两条直径，垂足o为圆心，ae、bf互相平分、垂直且相等，四边形abef是正方形.acb=aef=45，即dcq=qed.d、q、e、c四点共圆.连结ce、dq，则dce+dqe=180.ae为o的直径，dce=90，dqe=90.foe=90,进而dqbf，sbpq=sbpd,sabp+sbpq=sabp+sbpd,即s四边形abqp=sabd.o的半径为1，正方形边长为.即ab=af=.s四边形abqp=sabd=abaf=1.绿色通道 当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根