2013年高考理科数学山东卷word详解.pdf

1 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 山东卷山东卷 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将本试卷 和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在答题卡 和试卷规定的位置上 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置 不能 写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不 按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 独立 那么 P AB P A P B 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 2013 山东 理 1 复数 z 满足 z 3 2 i 5 i 为虚数单位 则 z 的共轭复数z为 A 2 i B 2 i C 5 i D 5 i 答案 答案 D 解析 解析 由题意得 z 3 5 2i 2 i 所以 z 5 i 故z 5 i 应选 D 2 2013 山东 理 2 已知集合 A 0 1 2 则集合 B x y x A y A 中元素的个数是 A 1 B 3 C 5 D 9 答案 答案 C 解析 解析 当 x y 取相同的数时 x y 0 当 x 0 y 1 时 x y 1 当 x 0 y 2 时 x y 2 当 x 1 y 0 时 x y 1 当 x 2 y 0 时 x y 2 其他则重复 故集合 B 中有 0 1 2 1 2 共 5 个元素 应选 C 3 2013 山东 理 3 已知函数 f x 为奇函数 且当 x 0 时 f x 2 1 x x 则 f 1 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 答案 A 解析 解析 因为 f x 是奇函数 故 f 1 f 1 2 1 1 1 2 应选 A 4 2013 山东 理 4 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 体积为 9 4 底面是边长为3的正三角 形 若 P 为底面 A1B1C1的中心 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 A 5 12 B 3 C 4 D 6 答案 答案 B 解析 解析 如图所示 由棱柱体积为 9 4 底面正三角形的边长为3 可求得棱柱的高为3 设 P 在平面 ABC 上射影为 O 则可求得 AO 长为 1 故 AP 长为 22 132 故 PAO 3 即 PA 与平面 ABC 所成 的角为 3 2 5 2013 山东 理 5 将函数 y sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位后 得到一个偶函数的图象 则 的一个可能取值为 A 3 4 B 4 C 0 D 4 答案 答案 B 解析 解析 函数 y sin 2x 的图象向左平移 8 个单位后变为函数 sin 2 8 yx sin 2 4 x 的图象 又 sin 2 4 yx 为偶函数 故 42 k k Z 4 k k Z 若 k 0 则 4 故选 B 6 2013 山东 理 6 在平面直角坐标系 xOy 中 M 为不等式组 220 210 380 xy xy xy 所表示的区域上一动点 则直线 OM 斜率的最小值为 A 2 B 1 C 1 3 D 1 2 答案 答案 C 解析 解析 不等式组表示的区域如图阴影部分所示 结合斜率变化规律 当 M 位于 C 点时 OM 斜率最小 且为 1 3 故选 C 7 2013 山东 理 7 给定两个命题 p q 若 p 是 q 的必要而不充分条件 则 p 是 q 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 答案 A 3 解析解析 由题意 q p pq 根据命题四种形式之间的关系 互为逆否的两个命题同真同假 所 以等价于所以 p 是 q 的充分而不必要条件 故选 A 8 2013 山东 理 8 函数 y xcos x sin x 的图象大致为 答案 答案 D 解析 解析 因 f x x cos x sin x xcos x sin x f x 故该函数为奇函数 排除 B 又 x 0 2 y 0 排除 C 而 x 时 y 排除 A 故选 D 9 2013 山东 理 9 过点 3 1 作圆 x 1 2 y2 1 的两条切线 切点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 4x y 3 0 D 4x y 3 0 答案 答案 A 解析 解析 该切线方程为 y k x 3 1 即 kx y 3k 1 0 由圆心到直线距离为 22 1 031 1 kk k 1 得 k 0 或 4 3 切线方程分别与圆方程联立 求得切点坐标分别为 1 1 93 55 故所求直线的方程 为 2x y 3 0 故选 A 10 2013 山东 理 10 用 0 1 9 十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 A 243 B 252 C 261 D 279 答案 答案 B 解析 解析 构成所有的三位数的个数为 111 91010 C C C 900 而无重复数字的三位数的个数为 111 998 C C C 648 故所求个数为 900 648 252 应选 B 11 2013 山东 理 11 抛物线 C1 y 2 1 2 x p p 0 的焦点与双曲线 C2 2 2 1 3 x y 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 则 p A 3 16 B 3 8 C 2 3 3 D 4 3 3 答案 答案 D 解析 解析 设 M 2 00 1 2 xx p 2 1 2 x yx pp 故在 M 点处的切线的斜率为 0 3 3 x p 故 4 M 31 36 pp 由题意又可知抛物线的焦点为0 2 p 双曲线右焦点为 2 0 且 31 36 pp 0 2 p 2 0 三点共线 可求得 p 4 3 3 故选 D 12 2013 山东 理 12 设正实数 x y z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 则当 xy z 取得最大值时 212 xyz 的 最大值为 A 0 B 1 C 9 4 D 3 答案 答案 B 解析 解析 由 x2 3xy 4y2 z 0 得 22 34xxyy z 1 22 243xyxy z 即 xy z 1 当且仅当 x2 4y2时成立 又 x y 为正实数 故 x 2y 此时将 x 2y 代入 x2 3xy 4y2 z 0 得 z 2y2 所以 2 2 212121 1 1 xyzyyy 当 1 1 y 即 y 1 时 212 xyz 取得最大值为 1 故选 B 第 卷 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 2013 山东 理 13 执行右面的程序框图 若输入的 的值为 0 25 则输出的 n 的值为 答案 答案 3 解析 解析 第 1 次运行将 F0 F1赋值给 F1 即将 3 赋值给 F1 然后将 F1 F0赋值给 F0 即将 3 1 2 赋 值给 F0 n 增加 1 变成 2 此时 1 11 3F 比 大 故循环 新 F1为 2 3 5 新 F0为 5 2 3 n 增加 1 变 5 成 3 此时 1 11 5F 故退出循环 输出 n 3 14 2013 山东 理 14 在区间 3 3 上随机取一个数 x 使得 x 1 x 2 1 成立的概率为 答案 答案 1 3 解析 解析 设y x 1 x 2 3 2 21 12 3 1 x xx x 利用函数图象 图略 可知 x 1 x 2 1的解集为 1 而在 3 3 上满足不等式的 x 的取值范围为 1 3 故所求概率为 3 11 333 15 2013 山东 理 15 已知向量AB 与AC 的夹角为 120 且 AB 3 AC 2 若AP AB AC 且AP BC 则实数 的值为 答案 答案 7 12 解析 解析 AP AB AC AP BC 又BC AC AB AC AB AC AB 0 AC 2 AB AC AB AC AB 2 0 即 4 1 3 2 1 2 9 0 即 7 12 0 7 12 16 2013 山东 理 16 定义 正对数 ln x 0 01 ln 1 x x x 现有四个命题 若 a 0 b 0 则 ln ab bln a 若 a 0 b 0 则 ln ab ln a ln b 若 a 0 b 0 则 ln a b ln a ln b 若 a 0 b 0 则 ln a b ln a ln b ln 2 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 答案 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 2013 山东 理 17 本小题满分 12 分 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a c 6 b 2 cos B 7 9 1 求 a c 的值 2 求 sin A B 的值 解 1 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B 得 b2 a c 2 2ac 1 cos B 又 b 2 a c 6 cos B 7 9 所以 ac 9 解得 a 3 c 3 2 在 ABC 中 sin B 2 4 2 1 cos 9 B 由正弦定理得 sin A sin2 2 3 aB b 因为 a c 所以 A 为锐角 所以 cos A 2 1 1 sin 3 A 6 因此 sin A B sin Acos B cos Asin B 10 2 27 18 2013 山东 理 18 本小题满分 12 分 如图所示 在三棱锥 P ABQ 中 PB 平面 ABQ BA BP BQ D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中点 AQ 2BD PD 与 EQ 交于点 G PC 与 FQ 交于点 H 连 接 GH 1 求证 AB GH 2 求二面角 D GH E 的余弦值 1 证明 因为 D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中 点 所以 EF AB DC AB 所以 EF DC 又 EF平面 PCD DC 平面 PCD 所以 EF 平面 PCD 又 EF 平面 EFQ 平面 EFQ 平面 PCD GH 所以 EF GH 又 EF AB 所以 AB GH 2 解法一 在 ABQ 中 AQ 2BD AD DQ 所以 ABQ 90 即 AB BQ 因为 PB 平面 ABQ 所以 AB PB 又 BP BQ B 所以 AB 平面 PBQ 由 1 知 AB GH 所以 GH 平面 PBQ 又 FH 平面 PBQ 所以 GH FH 同理可得 GH HC 所以 FHC 为二面角 D GH E 的平面角 设 BA BQ BP 2 连接 FC 在 Rt FBC 中 由勾股定理得 FC 2 在 Rt PBC 中 由勾股定理得 PC 5 又 H 为 PBQ 的重心 所以 HC 15 33 PC 同理 FH 5 3 在 FHC 中 由余弦定理得 cos FHC 55 2 4 99 5 5 2 9 故二面角 D GH E 的余弦值为 4 5 解法二 在 ABQ 中 AQ 2BD AD DQ 7 所以 ABQ 90 又 PB 平面 ABQ 所以 BA BQ BP 两两垂直 以 B 为坐标原点 分别以 BA BQ BP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设 BA BQ BP 2 则 E 1 0 1 F 0 0 1 Q 0 2 0 D 1 1 0 C 0 1 0 P 0 0 2 所以EQ 1 2 1 FQ 0 2 1 DP 1 1 2 CP 0 1 2 设平面 EFQ 的一个法向量为 m x1 y1 z1 由 m EQ 0 m FQ 0 得 111 11 20 20 xyz yz 取 y1 1 得 m 0 1 2 设平面 PDC 的一个法向量为 n x2 y2 z2 由 n DP 0 n CP 0 得 222 22 20 20 xyz yz 取 z2 1 得 n 0 2 1 所以 cos m n 4 5 m n m n 因为二面角 D GH E 为钝角 所以二面角 D GH E 的余弦值为 4 5 19 2013 山东 理 19 本小题满分 12 分 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是 1 2 外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3 假设各局比赛结 果相互独立 1 分别求甲队以 3 0 3 1 3 2 胜利的概率 2 若比赛结果为 3 0 或 3 1 则胜利方得 3 分 对方得 0 分 若比赛结果为 3 2 则胜利方得 2 分 对方得 1 分 求乙队得分 X 的分布列及数学期望 解 1 记 甲队以 3 0 胜利 为事件 A1 甲队以 3 1 胜利 为事件 A2 甲队以 3 2 胜利 为事件 A3 由题意 各局比赛结果相互独立 故 P A1 3 28 327 P A2 2 2 3 2228 C1 33327 P A3 22 2 4 2214 C1 33227 8 所以 甲队以 3 0 胜利 以 3 1 胜利的概率都为 8 27 以 3 2 胜利的概率为 4 27 2 设 乙队以 3 2 胜利 为事件 A4 由题意 各局比赛结果相互独立 所以 P A4 22 2 4 2214 C11 33227 由题意 随机变量 X 的所有可能的取值为 0 1 2 3 根据事件的互斥性得 P X 0 P A1 A2 P A1 P A2 16 27 又 P X 1 P A3 4 27 P X 2 P A4 4 27 P X 3 1 P X 0 P X 1 P X 2 3 27 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 3 27 所以 EX 0 16 27 1 4 27 2 4 27 3 3 27 7 9 20 2013 山东 理 20 本小题满分 12 分 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 S4 4S2 a2n 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 且 1 2 n n n a T 为常数 令 cn b2n n N 求数列 cn 的前 n 项和 Rn 解 1 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由 S4 4S2 a2n 2an 1 得 11 11 4684 212211 adad andand 解得 a1 1 d 2 因此 an 2n 1 n N 2 由题意知 Tn 1 2n n 所以 n 2 时 bn Tn Tn 1 121 12 222 nnn nnn 故 cn b2n 21 22 2 n n 1 1 1 4 n n n N 所以 Rn 0 1 4 0 1 1 4 1 2 1 4 2 3 1 4 3 n 1 1 4 n 1 则 1 4 Rn 0 1 4 1 1 1 4 2 2 1 4 3 n 2 1 4 n 1 n 1 1 4 n 9 两式相减得 3 4 Rn 1 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 n 1 n 1 1 4 n 11 144 1 1 4 1 4 n n n 11 31 334 n n 整理得 Rn 1 131 4 94n n 所以数列 cn 的前 n 项和 Rn 1 131 4 94n n 21 2013 山东 理 21 本小题满分 13 分 设函数 f x 2 e x x c e 2 718 28 是自然对数的底数 c R 1 求 f x 的单调区间 最大值 2 讨论关于 x 的方程 ln x f x 根的个数 解 1 f x 1 2x e 2x 由 f x 0 解得 x 1 2 当 x 1 2 时 f x 0 f x 单调递增 当 x 1 2 时 f x 0 f x 单调递减 所以 函数 f x 的单调递增区间是 1 2 单调递减区间是 1 2 最大值为 1 11 e 22 fc 2 令 g x ln x f x ln x xe 2x c x 0 当 x 1 时 ln x 0 则 g x ln x xe 2x c 所以 g x 2 2 e e21 x x x x 因为 2x 1 0 2 e x x 0 所以 g x 0 因此 g x 在 1 上单调递增 当 x 0 1 时 ln x 0 则 g x ln x xe 2x c 所以 g x 2 2 e e21 x x x x 因为 e2x 1 e2 e2x 1 x 0 所以 2 e x x 1 又 2x 1 1 10 所以 2 e x x 2x 1 0 即 g x 0 因此 g x 在 0 1 上单调递减 综合 可知 当 x 0 时 g x g 1 e 2 c 当 g 1 e 2 c 0 即 c e 2时 g x 没有零点 故关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 0 当 g 1 e 2 c 0 即 c e 2时 g x 只有一个零点 故关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 1 当 g 1 e 2 c 0 即 c e 2时 当 x 1 时 由 1 知 g x ln x xe 2x c 1 1 ln e 2 xc ln x 1 c 要使 g x 0 只需使 ln x 1 c 0 即 x e1 c 当 x 0 1 时 由 1 知 g x ln x xe 2x c 1 1 ln e 2 xc ln x 1 c 要使 g x 0 只需 ln x 1 c 0 即 x 0 e 1 c 所以 c e 2时 g x 有两个零点 故关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 2 综上所述 当 c e 2时 关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 0 当 c e 2时 关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 1 当 c e 2时 关于 x 的方程 ln x f x 根的个数为 2 22 2013 山东 理 22 本小题满分 13 分 椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右焦点分别是 F1 F2 离 心率为 3 2 过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 1 求椭圆 C 的方程 2 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点 连接 PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于 点 M m 0 求 m 的取值范围 3 在 2 的条件下 过点 P 作斜率为 k 的直线 l 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 设直线 PF1 PF2的斜率分别为 k1 k2 若 k 0 试证明 12 11 kkkk 为定值 并求出这个定值 1 解 由于 c2 a2 b2 将 x c 代入椭圆方程 22 22 1 xy ab 得 2 b y a 由题意知 2 2 1 b a 即 a 2b2 又 3 2 c e a 所以 a 2 b 1 11 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y 2 解法一 设 P x0 y0 y0 0 又 F1 3 0 F2 3 0 所以直线 PF1 PF2的方程分别为 lPF1 y0 x x0 3 y 3y0 0 lPF2 y0 x x0 3 y 3y0 0 由题意知 00 22 00 3 3 myy yx 00 22 00 3 3 myy yx 由于点 P 在椭圆上 所以 2 2 0 0 1 4 x y 所以 22 00 3 3 33 22 22 mm xx 因为3 m 3