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二次函数教材分析 人教版九年级数学第二十六章 1 2008 2010连续三年北京数学中考二次函数试题 2 2008 24 在平面直角坐标系xOy中 抛物线与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 与y轴交于点C 点B的坐标 3 0 将直线y kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C两点 1 求直线BC及抛物线的解析式 确定函数的表达式 2 设抛物线的顶点为D 点P在抛物线的对称轴上 且 APD ACB 求点P的坐标 会根据公式确定图象的顶点和对称轴 与解直角三角形 相似结合的问题 3 连结CD 求 OCA与 OCD两角和的度数 与勾股定理 相似结合的问题 图1 图2 3 2009 23 已知关于的一元二次方程2x 4x k 1 0有实数根 k为正整数 1 求k的值 2 当此方程有两个非零的整数根时 将关于x的二次函数y 2x 4x k 1的图象向下平移8个单位 求平移后的图象的解析式 确定函数的表达式 3 在 2 的条件下 将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线与此图象有两个公共点时 b的取值范围 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 与一次函数结合的问题 4 2009 24 在平行四边形ABCD中 过点C作CE CD交AD于点E 将线段EC绕点E逆时针旋转90 得到线段EF 如图1 1 在图1中画图探究 当P1为线段CD上任意一点 P1不与C点重合 时 连接EP1 将线段EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EG1 判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明 当P2为线段DC的延长线上任意一点时 连接EP2 将线段EP2绕点E逆时针旋转90 得到线段EG2 判断直线G1G2与直线CD的位置关系 画出图形并直接写出你的结论 图1 图2 备用 2 若AD 6 AE 1 在 的条件下 设CP1 x 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 与面积结合求函数解析式的问题 同时考查旋转和分类讨论思想 5 10 24 在平面直角坐标系xoy中 抛物线与轴的交点分别为原点O和点A 点B 2 n 在这条抛物线上 1 求B点的坐标 确定函数表达式 点的坐标定义 2 点P在线段OA上 从O点出发向A点运动 过P点作x轴的垂线 与直线OB交于点E 延长PE到点D 使得ED PE 以PD为斜边 在PD右侧作等腰直角三角形PCD 当P点运动时C点 D点也随之运动 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时 求OP的长 二次函数与三角形的结合 若P点从O点出发向A点作匀速运动 速度为每秒1个单位 同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动 速度为每秒2个单位 当Q点到达O点时停止运动 P点也同时停止运动 过Q点作x轴的垂线 与直线AB交于点F 延长QF到点M 使得FM QF 以QM为斜边 在QM的左侧作等腰直角三角形QMN 当Q点运动时 M点 N点也随之运动 若P点运动到t秒时 两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上 求此刻t的值 运动变化与分类讨论 6 二次函数与其它知识有广泛的联系 所以对它的考查非常综合 且灵活多样 故而对教学的要求比较高 7 本章基本点 二次函数的顶点 本章基本方法 待定系数法和配方法 本章基本思想 数形结合思想和转化思想 8 一 本章教学内容 26 1二次函数26 2用函数观点看一元二次方程26 3实际问题与二次函数 9 地位和作用 二次函数 这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一 学生在学习了正比例函数 一次函数 反比例函数之后学习二次函数 这是对函数及其应用知识学习的深化和提高 是今后学习其它初等函数的基础 因此 这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用 对培养和提高学生用函数模型 函数思想 来解决实际问题 逐步提高分析问题 解决问题的能力有着一定的作用 10 1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式 并体会二次函数的意义 2 会用描点法画出二次函数的图象 能从图象上认识二次函数的性质 3 会根据公式确定图象的顶点和对称轴 并能解决简单的实际问题 4 会利用二次函数的图象 求一元二次方程的近似解 二 课程学习目标 11 本章知识结构 12 2010年北京中考考试说明 对本章教学内容的要求 13 三 本章重点 难点 1 重点 了解二次函数的含义 理解二次函数的图象及其性质 二次函数解析式的确定 能用二次函数解决实际问题2 难点 二次函数图象特征及其性质 对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用 应用二次函数解决实际问题 能解决与其他函数结合的问题 14 四 教学要点分析与建议 1 二次函数的定义 2 二次函数的图象与性质 3 二次函数解析式的确定 4 用函数观点看一元二次方程 5 实际问题与二次函数 15 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做x的二次函数 1 等号左边是变量y 右边是关于自变量x的 2 等式的右边最高次数为 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 注意 3 x的取值范围是 整式 即b c可以为0 但a 0 2 任意实数 1 二次函数的定义 16 题1 下列函数中 哪些是二次函数 若是 分别指出二次项系数 一次项系数 常数项 1 y 3 x 1 1 2 y x 3 s 3 2t 4 y x 3 x 5 y x 6 v 10r 7 y 8 y 应看化简后的表达式 1 1二次函数的定义及相关概念 17 注 解决此类问题的顺序是先次数后系数 通过一题多问的方式 明确常见函数的定义 复习已学知识 达到以新带旧的目的 1 2根据二次函数定义确定字母的值 18 1 正方形面积y与边长x的函数关系 2 用总长为60cm的铁丝围成矩形场地 矩形面积s 平方厘米 与矩形的一边长x cm 之间的关系 3 圆的面积s与半径r的函数关系式 4 某机械公司第一月销售50台 第三月销售y台与月平均增长率x之间的关系式 1 3根据实际问题列二次函数表达式 注 所举实例注意从简单到复杂1 引入二次函数概念时 教学要注意考虑学生的理解能力 做到通俗易懂 2 随着学习的不断深入 逐渐加大难度 从文字叙述过渡到通过表格 图象呈现信息 列函数关系式的问题 题3 19 题4 2009年黄石市 为了扩大内需 让惠于农民 丰富农民的业余生活 鼓励送彩电下乡 国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴 规定每购买一台彩电 政府补贴若干元 经调查某商场销售彩电台数y 台 与补贴款额x 元 之间大致满足如图 所示的一次函数关系 随着补贴款额的不断增大 销售量也不断增加 但每台彩电的收益z 元 会相应降低且与x之间也大致满足如图 所示的一次函数关系 1 2 3 要使该商场销售彩电的总收益 元 最大 政府应将每台补贴款额定为多少 并求出总收益的最大值 根据实际问题列二次函数表达式既是本章的出发点 又是本章的落脚点 对它的教学贯穿全章 20 2 二次函数的图象与性质 注重全体学生的动手参与 要让学生会用描点法作图 明确过程 作图规范 培养学生观察及抽象概括能力 要引导学生不断总结性质 加深认识 注重由简到繁 从特殊到一般的探索过程 总体要求 21 函数图象画法 列表 描点 连线 描点法 二次函数的图象与性质 2 1 22 通过研究二次函数的图象与性质 要让学生体会到要研究二次函数需要从以下几个方面入手 1 图象方面 画图是学生应具备的基本技能 图象是学生研究性质的重要媒介 教师要充分重视学生画图能力的培养 1 画函数图象的方法 描点法 2 画函数图象的步骤 列表 描点 连线 让学生体会表格法 图象法 解析式法是函数的三种不同表示方法 3 画图的注意事项 类比反比例函数图象 体会二次函数图象连线时要用光滑曲线 而不是折线段 图象可以无限延伸 画图时要注意越过两边的端点 画出延展趋势 2 性质方面 注重学法指导 让学生了解研究函数性质的一般方法 注意引导学生从如下方面研究二次函数的性质开口方向 对称轴 顶点坐标以及增减性 最值 开口大小 23 注意纠正学生错误 从一开始就训练学生规范作图的能力 24 y ax2的性质总结 25 2 2 26 总结的性质 2 抛物线的性质 时 开口向上 时 开口向下 抛物线的图象可由的图象左右平移得到 向右平移 向左平移 平移个单位 对称轴是直线 顶点坐标是 2 3 27 图象可由二次函数的图象平移得到 二次函数的图象是抛物线 总结 的性质 二次函数图象的平移实际上是顶点的平移 要让学生先写出平移前后顶点的坐标 再确定平移的方向和距离 2 4 28 29 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 是通过把它转化为顶点式来讨论的 30 y ax2 bx c a 0 当b 0 c 0时 函数可化为y ax2 a 0 它的顶点在原点 对称轴是y轴 当b 0 c 0时 函数可化为y ax2 bx a 0 它的图象经过原点 0 0 当b 0 c 0时 函数可化为y ax2 c a 0 它的图象的顶点为 0 c 对称轴是y轴 31 y a x h 2 k a 0 当h 0 k 0时 函数可化为y ax2 a 0 它的顶点在原点 0 0 对称轴是y轴 x 0 当h 0 k 0时 函数可化为y ax2 k a 0 它的图象的顶点为 0 k 对称轴是y轴 x 0 当h 0 k 0时 函数可化为y a x h 2 a 0 它的图象的顶点为 h 0 对称轴是x h 32 y ax2 bx c a 0 当x 0时 y c 图象与 轴交点坐标为 0 c c是图象与 轴交点的纵坐标 y a x h 2 k a 0 当x h时 y k 图象顶点坐标为 h k k是图象顶点的纵坐标 当x 0时 y ah2 k 图象与 轴交点坐标为 0 ah2 k 明确不同解析式中字母系数的含义 33 二次函数的图象及性质 当a 0时开口向上 并向上无限延伸 当a 0时开口向下 并向下无限延伸 0 0 0 c h 0 h k 直线 y轴 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 y轴 直线x h 直线x h x h时ymin 0 x h时ymax 0 x h时ymin k x h时ymax k 34 利用几何画板探究二次函数图形性质 为了有助于学生对于二次函数图象性质的深刻认识 除了强调学生自己动手之外 教师还可借助多媒体进行展示 35 切实提高学生二次函数性质简单运用的能力 常规题型训练到位人人过关 36 1 2010兰州 二次函数的图象的顶点坐标是 A A 1 8 B 1 8 C 1 2 D 1 4 2 2010舟山 已知二次函数 则函数值y的最小值是 C A 3B 2C 1D 1 注 此题考查顶点坐标公式或配方法求顶点 注 此题求顶点纵坐标 二次函数的顶点 最值 问题 二次函数性质图象常见考题举例 37 2 对于一开始不是顶点式的要注意化为顶点式 3 2010兰州 抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位 所得图象的解析式为 则b c的值为 B A b 2 c 2B b 2 c 0C b 2 c 1D b 3 c 2 注 1 此题考查二次函数的平移 顶点坐标 二次函数与全等变换相结合的问题 38 4 2010陕西 将抛物线C y x2 3x 10 将抛物线C平移到C 若两条抛物线C C 关于直线x 1对称 则下列平移方法中正确的是 C A将抛物线C向右平移个单位B将抛物线C向右平移3个单位C将抛物线C向右平移5个单位D将抛物线C向右平移6个单位 注 此题考查二次函数的平移 顶点坐标及对称的知识 39 5 2010桂林 将抛物线绕它的顶点旋转180 所得抛物线的解析式是 D A B C D 注 此题考查二次函数的顶点坐标及中心对称的知识 40 6 2009天津 在平面直角坐标系中 先将的图像关于x轴作轴对称变换 再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A B C D 注 抓住两点 即一是开口方向 二是顶点坐标 找到变换后的顶点坐标 再确定开口方向 41 1 从二次函数的图象看什么 从开口方向确定a的符号从开口方向及对称轴确定b的符号从图象与y轴的交点确定c的符号或具体数值从图象与x轴的交点个数判断b2 4ac的符号看顶点坐标 对称轴由图象 还可看出某些特殊代数式的符号 二次函数的图象问题 由图得数 由数得图 数形结合 2 利用a b c的值或范围可判断二次函数的大致位置 42 2020 1 7 43 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的几个特例 1 当x 1时 2 当x 1时 3 当x 2时 4 当x 2时 y a b c y a b c y 4a 2b c y 4a 2b c o 1 1 2 练习 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如上图所示 那么下列判断正确的有 填序号 abc 0 b2 4ac0 a b c0 4a 2b c 0 4a 2b c 0 44 7 2010莱芜 二次函数的图象如图所示 则一次函数的图象不经过 D A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 由此推彼 二次函数性质图象常见考题举例 45 8 09年南宁 已知二次函数 的图象如图所示 有下列四个结论 其中正确的个数有 A 1个B 2个C 3个D 4个 a决定开口方向 a 时 开口向上 a 时 开口向下 a b同时决定对称轴位置 左同右异b 时 对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点 0 c 46 9 09年鄂州 已知二次函数y ax bx c的图象如图 则下列5个代数式 ac a b c b 4ac 2a b 2a b中 其值大于0的个数为 A 2B3C 4D 5 抛物线与x轴交点个数的判定 1 b2 4ac 02个交点 2 b2 4ac 01个交点 3 b2 4ac 00个 注 一些特殊代数式 a b c a b c 2a b等 47 10 2009深圳改编 二次函数的图象如图所示 若点A 1 y1 B 2 y2 C 6 y3 是它图象上的三点 则y1 y2 y3的大小关系是 A y1 y2 y3B y1 y3 y2C y2 y1 y3D 不能确定 注 认识二次函数图象的轴对称性是解有些题的钥匙 48 3 二次函数解析式的确定 待定系数法 一般式 y ax2 bx c顶点坐标 对称轴 顶点式 y a x h 2 k顶点坐标 h k 对称轴x h顶点式 一般式 展开 一般式 顶点式 配方 顶点坐标公式 49 已知任意三点坐标选用一般式 如果已知与y轴的交点 设函数解析式时可先将c值直接代入 使三元方程组变为二元 从而简化运算 已知顶点坐标 对称轴或最值常可选用顶点式 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点 双根 式 50 09襄樊 抛物线的图象如图所示 则此抛物线的解析式为 注 此题也可以用不同的方法求解析式 还要注意数形结合及二次函数图象的轴对称性 51 4 用函数观点看一元二次方程 这一节内容可以类比一次函数与一元二次方程关系来学习 我们不要把它看做是新的内容 我们在学习一次函数时 就已经知道 求函数与x轴交点令y 0 求与y轴交点令x 0 求两个函数交点把两个函数联立解方程组 学习二次函数方法完全一样 只不过是强化一元二次方程的知识 4 b2 4ac 0有交点 51 52 问题 如图 以40m s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到15m 如果能 需要多少飞行时间 解 球的飞行h与飞行时间t之间具有关系 h 20t 5t2 当h 15时 则15 20t 5t2 解得 t1 1 t2 3 当球飞行1s和3s时 它的高度为15m 让学生结合图形说明为什么在两个时间球的高度15m 15 55 53 问题 如图 以40m s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行h高度 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 2 球的飞行高度能否达到20m 如果能 需要多少飞行时间 解 球的飞行h与飞行时间t之间具有关系 h 20t 5t2 当h 20时 则20 20t 5t2 解得 t1 t2 2 当球飞行2s时 它的高度为20m 让学生结合图形指出为什么只在一个时间球的高度20m 20 2 54 问题 如图 以40m s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行h高度 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 解 球的飞行h与飞行时间t之间具有关系 h 20 5t2 当h 20 5时 则20 5 20t 5t2 所以球的飞行高度达不到20 5m 让学生结合图形指出为什么达不到20 5m 20 5 即 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无实数根 55 问题 如图 以40m s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行h高度 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 4 球从飞出到落地要用多少时间 解 球的飞行h与飞行时间t之间具有关系 h 20 5t2 当h 0时 则0 20t 5t2 所以当球飞行0s和4s时 它的高度为0m 即0s时球从地面飞出 4s时球落回地面 让学生结合图形指出为什么两个时间的球的高度为0m 解得 t1 0 t2 4 56 宣武09一模 小明在复习数学知识时 针对 求一元二次方程的解 整理了以下的几种方法 请你将有关内容补充完整 例题 求一元二次方程的两个解 解法一 选择合适的一种方法 公式法 配方法 分解因式法 求解 解方程 57 解法二 利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图1所示 把方程的解看成是二次函数y 的图象与x轴交点的横坐标 即就是方程的解 注 利用函数图像求方程的近似解是课程标准要求达到的 注重教学的挖掘 58 二次函数对一元二次方程 一元二次不等式起到了统领作用 可以使学生从更高的视角来认识一元二次方程 一元二次不等式 根据图象学生可得一元二次方程的近似解 虽然学生还没有学习一元二次不等式的解法 但通过图象可以看出结果 突出地体现了数形结合的思想 59 2010日照 如图 是二次函数y ax2 bx c图象的一部分 其对称轴为直线x 1 若其与x轴一交点为A 3 0 则由图象可知 不等式ax2 bx c 0的解集是 1 x 3 60 5 实际问题与二次函数 教材在本节中 通过面积问题 最大利润 磁盘存储量 水位变化等四个探究问题 展示了二次函数与实际的联系 并运用二次函数的图象和性质加以解决 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力 61 探究1 62 63 某商品现在的售价为每件60元 每星期可卖出300件 市场调查反映 每涨价1元 每星期少卖出10件 每降价1元 每星期可多卖出18件 已知商品的进价为每件40元 如何定价才能使利润最大 所得利润为元 探究2 第1步 找出实际问题的变量 并用字母表示变量 先来看涨价的情况 设每件涨价x元 则每星期售出商品的利润y也随之变化 降价情况略 第2步 用自变量的代数式表示其他量 涨价x元时则每星期少卖件 实际卖出件 销额为元 买进商品需付元 第3步 用解析式表示等量关系 第4步 利用二次函数的知识和问题实际解决问题 64 0 X 30 可以看出 这个函数的图像是一条抛物线的一部分 这条抛物线的顶点是函数图像的最高点 也就是说当x取顶点坐标的横坐标时 这个函数有最大值 由公式可以求出顶点的横坐标 所以 当定价为65元时 利润最大 最大利润为6250元 注 实际问题中自变量的取值范围受实际条件限制 注意把握 同时要检验计算结果的合理性 得出实际问题的正确答案 65 计算机把数据存储在磁盘上 磁盘是带有磁性物质的圆盘 磁盘上有一些同心圆轨道 叫做磁道 现有一张半径为45mm的磁盘 1 磁盘最内磁道的半径为rmm 其上每0 015mm的弧长为1个存储单元 这条磁道有多少个存储单元 2 磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0 3mm 磁盘的外圆周不是磁道 这张磁盘最多有多少条磁道 3 如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时 最内磁道的半径为r是多少时 磁盘的存储量最大 探究3 66 解 1 磁盘最内磁道的周长为2 rmm 它上面的存储单元的个数不超过 2 由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0 3mm 所以这张磁盘最多有条磁道 此问题实质是一个几何问题 周长与弧长间 磁道的个数与半径之间的关系 67 3 当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时 设磁盘每面存储量为y 则 0 r 45 当r 时 y有最大值 225000 也就是说当r mm时 磁盘的存储量最大 注 一定要让学生学会阅读 仔细分析实际问题中的数学内涵 几何问题要根据相似形 面积 周长等知识 列出解析式 68 抛物线形拱桥 当水面在时 拱顶离水面2m 水面宽度4m 水面下降1m 水面宽度增加多少 0 2 2 2 2 探究4 注 这是一类 形状是抛物线 的问题 这类题比 规律是二次函数 的题 如图形 利润等 直观 需建立适当坐标系 用待定系数法确定函数解析式 再用解析式解决有关问题 这类题还有如喷泉 掷铅球 涵洞 跳水运动等问题 69 六 几点教学建议 1教师要具备整体的教学思想 即系统的教学观 初三的第一轮复习从初三新课开始 人教版教材编写特点为复习提供契机 一次函数 反比例函数 一元二次方程等都是学过的内容 此时可以类比学习 辨析它们的联系和区别 70 注 先次数后系数 把有关的概念对比复习 如一元一次方程 一元一次不等式 一元二次方程等 71 2 立足基础教学参照近年考题 本章不会出现偏题 怪题 要参照考试说明和课标 立足基础知识 基本技能的考查 例习题不必太难 但形式应多变 72 3 应用题教学要培养时代感和阅