高考数学 玩转压轴题 专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟.doc

专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟【题型综述】参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：（1） 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.【典例指引】类型一 参数范围问题例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【解析】圆m的标准方程为，所以圆心m(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为n与x轴相切，与圆m外切，所以，于是圆n的半径为，从而，解得.因此，圆n的标准方程为.(2)因为直线l|oa，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心m到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.所以 解得.因此，实数t的取值范围是. 类型二 方程中参数范围问题例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线c的焦点，求抛物线c的方程；（2）已知抛物线c上存在关于直线l对称的相异两点p和q.求证：线段pq的中点坐标为；求p的取值范围.【解析】（1）抛物线的焦点为由点在直线上，得，即所以抛物线c的方程为因为p 和q是抛物线c上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段pq的中点坐标为因为在直线上所以，即由知，于是，所以因此的取值范围为类型三 斜率范围问题例3【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.由（）知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.类型四 离心率的范围问题例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a1）.（i）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（ii）若任意以点a（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，因此由于，得，因此， 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为【扩展链接】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于a、b两点，则有： ；若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为，交椭圆于a、b两点，则有： ；同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，直线的倾斜角为，则. . .；.；.；【同步训练】1已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.【详细解析】（1）由题意得，. 又因为，. 所以椭圆的方程为. （2）由 得. 设.所以，2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.(1)求顶点 的轨迹方程；(2) 设顶点a的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求出 的取值范围.【详细解析】（1）由题知 得 ，即 （定值）由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 顶点 的轨迹方程为 （2）由 消去整理得, ，整理得： .令 ，则 .设 的中点 ，则 .i)当 时，由题知， ii)当 时，直线 方程为 ，3.已知a，b，c是椭圆c： （ab0）上的三点，其中点a的坐标为(2，0)，bc过椭圆的中心，且0，|2|(1)求椭圆c的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆c交于p，q两点，设d为椭圆c与y轴负半轴的交点，且|，求实数t的取值范围【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。【详细解析】（1）由a的坐标为(2，0)，所以， ，知oc=ac,所以c(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-2t2,当直线时，设直线方程：y=kx+t,由消去整理得，设，pq中点，d(0,-2), 则，化简得，得， ，所以，代入,化简得，代入，即，所以综上所述， 4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点a和b 满足，求的取值范围.【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1即可得到双曲线方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可【详细解析】（1）椭圆c1的方程为的左、右焦点为（，0），（，0），则c2的左、右顶点为（，0），（，0），c1的左、右顶点为（2，0），（2，0），则c2的左、右焦点为（2，0），（2，0）则双曲线的a=，c=2，b=1即有双曲线c2的方程为： ；5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【思路点拨】（1）由已知即可以解得a, b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.【详细解析】（1）由已知 ，设的方程为（2）过的直线若斜率不存在，则或3.设直线斜率存在， 则由（2）（4）解得，代入（3）式得化简得由（1）解得代入上式右端得解得综上实数的取值范围是.6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【思路点拨】(1)由相关点法得到q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可；【详细解析】（）设动点，则，且，又，得，代入得动点的轨迹方程为（）当时，动点的轨迹曲线为直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，得，由，解得，设，线段的中点，则7.已知曲线c上的点到点f（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2 （1）求曲线c的方程 （2）过点f且斜率为k的直线l交曲线c于a、b两点，交圆f：于m、n两点（a、m两点相邻）若 ，当 时，求k的取值范围【思路点拨】（1）由动点p（x，y）到f（0，1）的距离比到直线y=3的距离小2，可得动点p（x，y）到f（0，1）的距离等于它到直线y=3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点p的轨迹w的方程；（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x24kx4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；【详细解析】（1）由题意，动点p（x，y）到f（0，1）的距离比到直线y=3的距离小2，动点p（x，y）到f（0，1）的距离等于它到直线y=1的距离，动点p的轨迹是以f（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x2=4y；（2）依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x24kx4=0，=（4k）2+160，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=4， （x2，y2）=（x1x2，y1y2）， ， ，即4k2+2= ， ，函数f（x）=x+ 在 单调单调递减，4k2+22， k的取值范围是， 8.如图，椭圆c：=1（ab0）的右顶点为a（2，0），左、右焦点分别为f1、f2，过点a且斜率为的直线与y轴交于点p，与椭圆交于另一个点b，且点b在x轴上的射影恰好为点f1（1）求椭圆c的标准方程；（2）过点p且斜率大于的直线与椭圆交于m，n两点（|pm|pn|），若spam：spbn=，求实数的取值范围【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆c的方程（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到设mn方程：y=kx1，m（x1，y1），n（x2，y2），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数的取值范围【详细解析】（1）因为bf1x轴，得到点，所以，所以椭圆c的方程是（2）因为，所以由（）可知p（0，1），设mn方程：y=kx1，m（x1，y1），n（x2，y2），联立方程得：（4k2+3）x28kx8=0即得（*）又，有，将代入（*）可得：因为，有，则且2综上所述，实数的取值范围为9.如图，椭圆e的左右顶点分别为a、b，左右焦点分别为f1、f2，|ab|=4，|f1f2|=2，直线y=kx+m（k0）交椭圆于c、d两点，与线段f1f2及椭圆短轴分别交于m、n两点（m、n不重合），且|cm|=|dn|（1）求椭圆e的离心率；（2）若m0，设直线ad、bc的斜率分别为k1、k2，求的取值范围【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率（2）设d（x1，y1），c（x2，y2）通过，结合0推出m24k2+1，利用韦达定理|cm|=|dn|求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可【详细解析】（1）由，可知即椭圆方程为.（2分）离心率为（4分）（2）设d（x1，y1），c（x2，y2）易知（5分）由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由04k2m2+10即m24k2+1，（6分）且|cm|=|dn|即可知，即，解得（8分）10.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆右焦点f的直线x+y2=0交c于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为（1）求椭圆c的标准方程；（2）设过点f的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于d，e两点，若在线段of上存在点m（t，0），使得mde=med，求t的取值范围【思路点拨】（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），利用平方差法，结合，设p（x0，y0），推出a2=3b2，结合c=2然后求解椭圆c的方程（2）设线段de的中点为h，说明mhde，设直线l的方程为y=k（x2），代入椭圆c的方程为，设d（x3，y3），e（x4，y4），利用韦达定理求出h的坐标，通过kmhkl=1，求解即可【详细解析】（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），则，相减得，由题意知，设p（x0，y0），因为p为ab的中点，且op的斜率为，所以，即，所以可以解得a2=3b2，即a2=3（a2c2），即，又因为c=2，a2=6，所以椭圆c的方程为（2）设线段de的中点为h，因为mde=med，所以mhde，设直线l的方程为y=k（x2），代入椭圆c的方程为，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0，设d（x3，y3），e（x4，y4），则则，即，由已知得kmhkl=1，整理得，因为k20，所以，所以t的取值范围是11.已知椭圆c：（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，离心率为，点a在椭圆c上，|af1|=2，f1af2=60，过f2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆c交于p，q两点（）求椭圆c的方程；（）若p，q的中点为n，在线段of2上是否存在点m（m，0），使得mnpq？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆c的方程（2）存在这样的点m符合题意设p（x1，y1），q（x2，y2），n（x0，y0），设直线pq的方程为y=k（x1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点n在直线pq上，求出n的坐标，利用mnpq，转化求解m的范围【详细解析】（1）由得a=2c，|af1|=2，|af2|=2a2，由余弦定理得，解得c=1，a=2，b2=a2c2=3