高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合考向归纳(1).doc

数列综合考向1等差数列与等比数列的综合应用1已知an为等差数列且公差d0，其首项a120，且a3，a7，a9成等比数列，sn为an的前n项和，nn*，则s10的值为()a110 b90 c90 d110【解析】由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9(a7)2，即(a12d)(a18d)(a16d)2，化简可得2a1d20d20，由a120，d0，解得d2.则s1010a1(2)110.【答案】d2设数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1ba2ba3ba4()a15 b60 c63 d72【解析】数列an是以3为首项，1为公差的等差数列，则an3(n1)1n2，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn2n1，则ba1ba2ba3ba4b3b4b5b62223242560.【答案】b3已知an是等差数列，其前n项和为sn，bn是等比数列(bn0)，且a1b12，a3b316，s4b334.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记tn为数列anbn的前n项和，求tn.【解】(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由已知q0，a1b12，a3b316，s4b334.ana1(n1)d23(n1)3n1，bnb1qn12n.(2)tn22522(3n1)2n，2tn222523(3n1)2n1，两式相减得tn432232n(3n1)2n14(3n1)2n18(3n4)2n1.tn(3n4)2n18.等差数列、等比数列综合问题的解题策略1分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序2在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的考向2数列的实际应用1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)【解】(1)由题意得：a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d整理得：ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元解答数列实际应用问题的步骤1确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列an满足an11.2ana2.准确求解模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确3给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点变式训练1.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n_.【解析】设对应的数列为an，公差为d(d0)由题意知a110，anan1an2114，aa1an，由anan1an2114，得3an1114，解得an138，(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，an1a1(n2)d38，即102(n2)38，解得n16.【答案】16考向3数列与其他知识的交汇问题命题角度1数列与函数的交汇问题1已知定义在r上的函数f(x)是奇函数且满足f(3x)f(x)，f(2)5，数列an满足a11，且sn2ann(其中sn为an的前n项和)，则f(a4)f(a5)_.【解析】函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)且f(0)0，又f(3x)f(x)，f(x)是以3为周期的周期函数，f(2)f(1)5，a11，且sn2ann，a23，a37，a415，a531，f(a4)f(a5)f(15)f(31)f(0)f(1)0f(2)5.【答案】52(2014四川高考)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nn*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和tn.【解】(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有2a842a72a72.解得da8a72.所以snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意知，a22，解得a22.所以da2a11，从而ann，bn2n，.所以tn，2tn.因此，2tntn12所以tn.命题角度2数列与不等式的交汇问题3(2014广东高考)设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且sn满足s(n2n3)sn3(n2n)0，nn*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.【解】(1)令n1代入得a12(负值舍去)(2)由s(n2n3)sn3(n2n)0，nn*得sn(n2n)(sn3)0.又已知各项均为正数，故snn2n.当n2时，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，所以an2n，nn*.(3)证明：kn*,4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，.不等式成立数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略1数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因